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L'équation du second degré : définition et discriminant

Définition

Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Elle peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles, déterminées par le discriminant Δ = b² − 4ac.

Explication

Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (−b−√Δ)/2a et x₂ = (−b+√Δ)/2a. Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/2a. Si Δ < 0 : pas de solution réelle. La parabole y = ax²+bx+c a son sommet en x = −b/2a. Quand Δ ≥ 0, on peut factoriser : ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂). Les relations de Viète : x₁+x₂ = −b/a et x₁×x₂ = c/a.

Exemple concret

Résoudre x²−5x+6=0 : Δ = 25−24 = 1 > 0. x₁ = (5−1)/2 = 2 et x₂ = (5+1)/2 = 3. Vérification par Viète : 2+3=5=−(−5)/1 ✓ et 2×3=6=6/1 ✓.

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Questions fréquentes

Comment résoudre x²=4 sans la formule du discriminant ?+
x²=4 ⟺ x²−4=0 ⟺ (x−2)(x+2)=0 ⟺ x=2 ou x=−2.
Qu'est-ce qu'une racine double ?+
Quand Δ=0, la parabole est tangente à l'axe des abscisses en un seul point x₀=−b/2a.
Comment compléter le carré ?+
ax²+bx+c = a(x+b/2a)²+(c−b²/4a). Cela permet de trouver le sommet de la parabole directement.

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