MathématiquesTerminale

L'intégrale : définition et applications

Définition

L'intégrale définie de f entre a et b, notée ∫ₐᵇ f(x)dx, représente l'aire algébrique comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a et x=b. Si F est une primitive de f (F' = f), alors ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).

Explication

Une primitive F de f est une fonction dont la dérivée est f. Le théorème fondamental de l'analyse relie dérivation et intégration : ce sont des opérations inverses l'une de l'autre. Les primitives usuelles : ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1), ∫eˣdx = eˣ, ∫(1/x)dx = ln|x|. L'intégrale peut représenter une aire (si f ≥ 0), un déplacement, une valeur moyenne ou une quantité accumulée.

Exemple concret

Calculer ∫₀² x²dx : une primitive de x² est F(x) = x³/3. Donc ∫₀² x²dx = F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3. L'aire sous la parabole y = x² entre x=0 et x=2 est donc 8/3 unités d'aire.

Fiches de révision associées

Fiches Mathématiques→

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?+
Une primitive est une famille de fonctions (définie à une constante près), l'intégrale définie est un nombre calculé entre deux bornes.
Comment intégrer par parties ?+
∫u·v'dx = [u·v] − ∫u'·v dx. On choisit u facile à dériver et v' facile à intégrer.
L'intégrale peut-elle être négative ?+
Oui, l'intégrale est algébrique : si f(x) < 0 sur [a,b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx < 0. L'aire géométrique est la valeur absolue.

Transforme ce cours en fiche
en 10 secondes

Colle ton cours. FicheIA génère tes fiches structurées instantanément. Gratuit, sans inscription.

Commence à réviser maintenant →

3 générations gratuites · Sans inscription