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La limite d'une fonction : définition et calcul

Définition

La limite d'une fonction f en un point a (ou en ±∞) est la valeur vers laquelle f(x) tend quand x s'approche de a (ou tend vers ±∞). On note lim(x→a) f(x) = L si f(x) peut être rendu aussi proche de L qu'on le souhaite.

Explication

Règles opératoires : la limite d'une somme, d'un produit et d'un quotient (si dénominateur ≠ 0) suit les règles algébriques habituelles. Les formes indéterminées (∞−∞, 0/0, ∞/∞, 0×∞) nécessitent un traitement spécial : factorisation, conjugué, règle de L'Hôpital. Les croissances comparées : eˣ domine xⁿ, xⁿ domine ln(x). Le théorème des gendarmes encadre une limite inconnue entre deux limites connues.

Exemple concret

lim(x→+∞) (2x²+3x−1)/(x²−5) : on divise par x² : lim = (2+3/x−1/x²)/(1−5/x²) → 2/1 = 2. La limite est 2, et y=2 est une asymptote horizontale.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?+
Une expression comme 0/0 ou ∞−∞ où on ne peut pas conclure directement. Il faut lever l'indétermination en transformant l'expression.
Quelle est la différence entre limite à gauche et limite à droite ?+
lim(x→a⁻) f(x) est la limite en approchant a par la gauche ; lim(x→a⁺) par la droite. Si elles diffèrent, la limite en a n'existe pas.
Comment utiliser la règle de L'Hôpital ?+
Pour une forme 0/0 ou ∞/∞ : lim f/g = lim f'/g', en dérivant numérateur et dénominateur séparément.

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