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Les nombres complexes : définition et forme algébrique

Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + bi, où a et b sont des réels et i est l'unité imaginaire définie par i² = −1. La partie réelle est Re(z) = a, la partie imaginaire Im(z) = b.

Explication

L'ensemble des complexes ℂ contient ℝ (cas b=0). Le conjugué de z=a+bi est z̄=a−bi. Le module est |z|=√(a²+b²). La forme trigonométrique est z=|z|(cosθ+i sinθ)=|z|e^(iθ) (formule d'Euler). Règles : (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ; pour le produit, on développe avec i²=−1. Les complexes permettent de résoudre toutes les équations du second degré (même Δ<0).

Exemple concret

z = 3+4i : |z| = √(9+16) = 5 ; z̄ = 3−4i ; z×z̄ = 9+16 = 25 = |z|². Le quotient 1/z = z̄/|z|² = (3−4i)/25.

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Questions fréquentes

Pourquoi a-t-on inventé les nombres complexes ?+
Pour résoudre des équations comme x²+1=0 qui n'ont pas de solution réelle. Ils sont aussi fondamentaux en physique (électromagnétisme, mécanique quantique).
Qu'est-ce que la formule d'Euler ?+
e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Cas particulier : e^(iπ) = −1 (identité d'Euler, souvent citée comme la plus belle formule des maths).
Comment calculer les racines carrées d'un complexe ?+
On pose z=a+bi et on résout le système donné par z²=w, en identifiant parties réelle et imaginaire.

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