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Le PGCD : définition et algorithme d'Euclide

Définition

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b. On le note PGCD(a,b). Si PGCD(a,b) = 1, les deux nombres sont dits premiers entre eux.

Explication

L'algorithme d'Euclide calcule le PGCD efficacement par divisions successives : PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b) jusqu'à ce que le reste soit nul. On peut aussi décomposer en facteurs premiers et prendre les facteurs communs avec les plus petits exposants. Le PGCD est utilisé pour simplifier des fractions (on divise numérateur et dénominateur par le PGCD) et pour résoudre des problèmes de partage équitable.

Exemple concret

PGCD(48, 36) : 48 = 36×1 + 12, puis 36 = 12×3 + 0. Donc PGCD(48,36) = 12. La fraction 36/48 se simplifie en 36÷12 / 48÷12 = 3/4.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?+
Le PGCD est le plus grand diviseur commun, le PPCM est le plus petit multiple commun. PGCD(a,b)×PPCM(a,b) = a×b.
Comment trouver le PGCD par décomposition en facteurs premiers ?+
On décompose les deux nombres, puis on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant. Ex : 48=2⁴×3, 36=2²×3², PGCD=2²×3=12.
À quoi sert le PGCD en pratique ?+
Simplifier des fractions, trouver un rythme commun (problèmes de robinets, de rencontres), résoudre des équations diophantiennes.

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