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La suite arithmétique : définition et formules

Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s'obtient en ajoutant un nombre constant r, appelé raison, au terme précédent. Si le premier terme est u₀, alors uₙ = u₀ + n·r pour tout entier n ≥ 0.

Explication

La raison r peut être positive (suite croissante), négative (suite décroissante) ou nulle (suite constante). Le terme général uₙ = u₀ + n·r permet de calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents. La somme des n+1 premiers termes est Sₙ = (n+1)×(u₀+uₙ)/2. Graphiquement, les termes d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple concret

La suite 3, 7, 11, 15, … est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u₀ = 3. Le 10ᵉ terme est u₉ = 3 + 9×4 = 39. La somme des 10 premiers termes est S₉ = 10×(3+39)/2 = 210.

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Questions fréquentes

Comment vérifier qu'une suite est arithmétique ?+
On vérifie que la différence entre deux termes consécutifs est constante : uₙ₊₁ − uₙ = r constant.
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?+
Dans une suite arithmétique, on ajoute la raison. Dans une suite géométrique, on multiplie par la raison.
Comment calculer la somme 1 + 2 + 3 + … + n ?+
C'est une suite arithmétique : S = n(n+1)/2.

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