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Le vecteur : définition et opérations

Définition

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Il est noté avec une flèche : →u. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, quelle que soit leur position dans le plan.

Explication

En coordonnées, un vecteur →u est représenté par ses composantes (x, y). La norme est ||→u|| = √(x²+y²). L'addition de vecteurs se fait composante par composante : →u + →v = (xᵤ+x_v, yᵤ+y_v). La multiplication par un scalaire k donne k·→u = (k·x, k·y). Les vecteurs sont essentiels pour décrire des translations, des forces en physique et des droites en géométrie.

Exemple concret

Si A(1,2) et B(4,6), le vecteur →AB a pour coordonnées (4−1, 6−2) = (3,4). Sa norme est √(3²+4²) = √25 = 5. Pour traduire le point C(0,0) par →AB, on obtient C'(3,4).

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le produit scalaire de deux vecteurs ?+
→u·→v = xᵤ·x_v + yᵤ·y_v = ||→u||·||→v||·cos(θ), où θ est l'angle entre les deux vecteurs.
Deux vecteurs colinéaires, c'est quoi ?+
→u et →v sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre : →u = k·→v. Cela signifie qu'ils ont la même direction.
Comment vérifier que trois points sont alignés avec les vecteurs ?+
A, B, C sont alignés si →AB et →AC sont colinéaires, c'est-à-dire si xAB·yAC − yAB·xAC = 0.

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