Quiz Fonctions Dérivées — Maths

Q: Quelles sont les formules de dérivation à connaître au bac ?

Les formules essentielles : (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x. Et les règles : (u+v)' = u'+v', (ku)' = ku', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v², (u∘v)' = v'·u'∘v.

Q: Comment utiliser la dérivée pour trouver les extrema ?

Pour trouver les extrema d'une fonction : 1) Calculer f'(x), 2) Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques, 3) Étudier le signe de f' de part et d'autre de chaque point critique, 4) Si f' change de + à - : maximum local ; si f' change de - à + : minimum local.

Question 1

Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² — La règle de dérivation des fonctions puissance est : si f(x) = xⁿ, alors f'(x) = n·xⁿ⁻¹. Pour f(x) = x³, on a n = 3 donc f'(x) = 3·x³⁻¹ = 3x².

Question 2

Que signifie f'(x) > 0 sur un intervalle ?

Accepted Answer

f est croissante sur cet intervalle — Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction : si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle. Si f'(x) < 0, f est décroissante. Si f'(x) = 0, f est constante ou a un extremum local.

Question 3

Quelle est la dérivée de f(x) = sin(x) ?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x) — Les dérivées des fonctions trigonométriques de base sont : (sin x)' = cos x et (cos x)' = -sin x. Ces résultats sont fondamentaux et doivent être mémorisés.

Question 4

Si f'(a) = 0 et f change de signe en a de + à -, alors :

Accepted Answer

f a un maximum local en a — Si f'(a) = 0 et que f' change de signe de positif à négatif en a, alors f passe de croissante à décroissante : f admet un maximum local en a. Si f' change de - à +, f admet un minimum local. Si f' ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion.

Question 5

Quelle est la dérivée de f(x) = eˣ ?

Accepted Answer

f'(x) = eˣ — La fonction exponentielle eˣ a la propriété remarquable d'être sa propre dérivée : (eˣ)' = eˣ. C'est une des propriétés fondamentales de la fonction exponentielle, qui justifie son importance en mathématiques et en sciences.

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