La gravitation universelle est un pilier de la mécanique au programme de Terminale. La loi de Newton, le mouvement des satellites et les lois de Kepler sont des incontournables du bac Physique-Chimie.
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Deux corps de masses m₁ et m₂ séparés d'une distance r s'attirent avec une force gravitationnelle : F = G⋅m1⋅m2/r2, où G = 6,674 ×10⁻^1^1N·m^2·kg⁻^2 est la constante gravitationnelle. La force est dirigée selon la droite reliant les deux centres de masse, toujours attractive.
Question probable
Calculer la force gravitationnelle entre la Terre (M_T = 5,97 ×10^2^4 kg) et un satellite de masse m = 500 kg en orbite à r = 6 800 km du centre terrestre.
Réponse
→F = G⋅MT⋅m/r2 = 6,674 ×10⁻^1^1× 5,97 ×10^2^4× 500 / (6,8 ×106)2 = 1,99 ×10^1^7 / (4,624 ×10^1^3)≈ 4 306 N. Cette force centripète maintient le satellite en orbite. Elle est beaucoup plus faible qu'au sol (où r = 6 371 km et F = m·g ≈ 4 905 N).
Mnémotechnique
F = G⋅m1⋅m2/r2. G comme Gravité. Force en 1/r2 : doubler la distance → force divisée par 4. Toujours attractive, jamais répulsive.
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PHY
Le champ gravitationnel
Définition
Le champ gravitationnel g créé par un corps de masse M en un point situé à la distance r de son centre vaut : g = G⋅M/r2 (en N·kg⁻^1 ou m·s⁻^2). Il représente la force gravitationnelle exercée par unité de masse. À la surface terrestre : g ≈ 9,81 m·s⁻^2. Le champ est radial et orienté vers le centre du corps attracteur.
Question probable
Calculer l'intensité du champ gravitationnel terrestre à une altitude h = 400 km (rayon terrestre R_T = 6 371 km, M_T = 5,97 ×10^2^4 kg).
Réponse
→r = R_T + h = 6 371 + 400 = 6 771 km = 6,771 ×106 m. g(r) = G⋅MT/r2 = 6,674 ×10⁻^1^1× 5,97 ×10^2^4 / (6,771 ×106)2 = 3,983 ×10^1^4 / (4,585 ×10^1^3)≈ 8,68 m·s⁻^2. À 400 km d'altitude (ISS), g ≈ 88% de g au sol.
Mnémotechnique
g = G⋅M/r2. g diminue avec r2. À altitude h : r = R_T + h. Les astronautes "flottent" non parce que g = 0, mais parce qu'ils sont en chute libre permanente.
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PHY
Les satellites en orbite circulaire
Définition
Pour un satellite en orbite circulaire de rayon r autour d'un corps de masse M, la force gravitationnelle fournit la force centripète : G⋅M⋅m/r2 = m⋅v2/r → v = (G⋅M/r). La vitesse orbitale décroît quand r augmente. La période est T = 2\pir/v = 2π⋅r3/2/(G⋅M).
Question probable
Calculer la vitesse orbitale d'un satellite en orbite circulaire à r = 6 771 km autour de la Terre (M_T = 5,97 ×10^2^4 kg).
Réponse
→v = (G⋅MT/r) = (6,674 ×10⁻^1^1× 5,97 ×10^2^4 / 6,771 ×106) = (5,88 ×107)≈ 7 668 m·s⁻^1≈ 7,7 km·s⁻^1. C'est la vitesse de l'ISS. T = 2\pir/v = 2π× 6,771 ×106 / 7 668 ≈ 5 546 s ≈ 92 min.
Mnémotechnique
v = (GM/r). Plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible. Orbite basse → vitesse élevée, période courte. "Monter = ralentir (paradoxe orbital)."
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PHY
La troisième loi de Kepler
Définition
Pour tout corps en orbite elliptique (ou circulaire) autour d'un même astre central de masse M, le rapport T2/a3 est constant : T2/a3 = 4π2/(G⋅M), où T est la période de révolution et a le demi-grand axe de l'orbite (rayon pour une orbite circulaire). Cette loi est indépendante de la masse du satellite.
Question probable
La Terre orbite autour du Soleil avec T_T = 1 an et a_T = 1 UA. Mars a a_M = 1,52 UA. Calculer la période de Mars.
Réponse
→D'après la 3e loi de Kepler : T2/a3 = constante. TM2/aM3 = TT2/aT3 → TM2 = TT2×(aM/aT)3 = 12× (1,52)3 = 3,512 → T_M = 3,512 ≈ 1,874 an ≈ 687 jours. La période de Mars est d'environ 687 jours terrestres, conformément aux observations.
Mnémotechnique
T2/a3 = constante (même astre central). "T2 proportionnel à a3." Plus loin → période plus longue. Kepler : loi harmonique des planètes.
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PHY
Énergie mécanique d'un satellite
Définition
L'énergie mécanique d'un satellite de masse m en orbite circulaire de rayon r autour d'un corps de masse M est : Em = Ec + Ep = −G·M·m/(2r), avec Ec = G·M·m/(2r) > 0 et Ep = −G·M·m/r < 0. Em est négative (système lié). Plus r augmente, plus Em augmente (moins négative) : il faut fournir de l'énergie pour monter en orbite.
Question probable
Comparer les énergies cinétique, potentielle et mécanique d'un satellite en orbite circulaire. Que se passe-t-il si Em augmente ?
Réponse
→Pour une orbite circulaire : Ec = −Em > 0 ; Ep = 2·Em < 0 ; Em = Ec + Ep = −G·M·m/(2r) < 0. Si Em augmente (devient moins négative), r augmente → le satellite monte en orbite plus haute. Si Em devient positive, le satellite s'échappe (énergie de libération). La vitesse de libération est v_lib = (2GM/r) = 2× v_orbitale.
Mnémotechnique
Em = −GMm/(2r). Négative = satellite lié. Em = Ec + Ep avec Ep = 2Em. "Le viriél : Ec = −Em = −Ep/2." Augmenter Em → orbite plus haute.
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