Théorème de Pythagore — Cours complet et exercices
Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus connus et les plus utiles des mathématiques. Il s'applique dans tous les triangles rectangles et permet de calculer un côté inconnu à partir des deux autres. Voici le cours complet, la réciproque et des exercices corrigés.
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Énoncé du théorème
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en C, alors :
AB² = AC² + BC²
AB = hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) | AC et BC = côtés de l'angle droit
Les trois types de calcul
Calcul de l'hypoténuse (le plus courant)
AB = √(AC² + BC²)
Exemple : AC = 3 cm, BC = 4 cm → AB² = 9 + 16 = 25 → AB = 5 cm
💡 Triple pythagoricien classique : 3-4-5. Autres triples courants : 5-12-13 et 8-15-17.
Calcul d'un côté de l'angle droit
AC = √(AB² − BC²)
Exemple : AB = 10 cm, BC = 6 cm → AC² = 100 − 36 = 64 → AC = 8 cm
💡 Quand on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait. Quand on cherche l'hypoténuse, on additionne.
La réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque
Si dans un triangle ABC on a AB² = AC² + BC², alors le triangle est rectangle en C.
La réciproque permet de vérifier si un triangle est rectangle sans avoir à mesurer les angles. Il suffit de vérifier si la relation de Pythagore est satisfaite.
La contraposée
Si AB² ≠ AC² + BC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle en C. (Utile pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.)
Exercices corrigés
Exercice 1 — Un triangle ABC est rectangle en A. AB = 5 cm, AC = 12 cm. Calculez BC.
Résolution : BC² = AB² + AC² = 25 + 144 = 169 → BC = 13 cm
Triple 5-12-13.
Exercice 2 — Dans un triangle DEF, DE = 7 cm, EF = 24 cm, DF = 25 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Résolution : DF² = 625 | DE² + EF² = 49 + 576 = 625 ✓ → Le triangle est rectangle en E.
Toujours vérifier avec le côté le plus long comme hypoténuse.
Exercice 3 — Un triangle GHI a GH = 6, HI = 8, GI = 11. Est-il rectangle ?
Résolution : GI² = 121 | GH² + HI² = 36 + 64 = 100 ≠ 121 → Le triangle n'est pas rectangle (contraposée).
Contraposée appliquée : la relation n'est pas vérifiée.
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