Fiche de révision :
La Géométrie Analytique

Q: Comment vérifier si trois points A, B, C sont alignés ?

A(1,2), B(3,5), C(5,8). AB = (3−1, 5−2) = (2,3). AC = (5−1, 8−2) = (4,6) = 2 × AB. Comme AC = 2 AB, les vecteurs sont colinéaires → A, B, C alignés. Autre méthode : si AB et AC sont colinéaires, le déterminant (produit vectoriel en 2D) est nul : det(AB, AC) = 2×6 − 3×4 = 12 − 12 = 0 ✓. Dans l'espace, trois points sont alignés si AB et AC sont colinéaires (l'un est multiple de l'autre).

Q: Trouver l'équation de la droite passant par A(2,3) et perpendiculaire à D : 3x − 2y + 1 = 0.

D a pour vecteur normal n = (3,−2). La droite perpendiculaire à D a donc n = (3,−2) comme vecteur directeur. Vecteur normal de la droite cherchée : (2,3) (perpendiculaire à (3,−2) car 3×2 + (−2)×3 = 6−6 = 0 ✓). Équation : 2(x−2) + 3(y−3) = 0 → 2x − 4 + 3y − 9 = 0 → 2x + 3y − 13 = 0. Vérification : A(2,3) → 4+9−13 = 0 ✓.

Q: Comment calculer l'angle entre deux vecteurs u et v ?

u = (1, 2, 2) et v = (2, −1, 2). u·v = 1×2 + 2×(−1) + 2×2 = 2 − 2 + 4 = 4. ||u|| = √(1+4+4) = 3. ||v|| = √(4+1+4) = 3. cos θ = u·v/(||u||×||v||) = 4/9. θ = arccos(4/9) ≈ 63,6°. Applications : montrer que deux vecteurs sont orthogonaux (u·v = 0), calculer une projection orthogonale, vérifier qu'un vecteur est normal à un plan.

Q: Trouver l'équation du plan passant par A(1,2,3), B(2,0,1), C(0,1,2).

AB = (1,−2,−2). AC = (−1,−1,−1). Normale n = AB × AC (produit vectoriel) : n = ((-2)(−1)−(−2)(−1), (−2)(−1)−(1)(−1), (1)(−1)−(−2)(−1)) = (2−2, 2+1, −1−2) = (0, 3, −3). On peut simplifier : n = (0,1,−1). Plan : 0(x−1) + 1(y−2) − 1(z−3) = 0 → y − z + 1 = 0. Vérification : A(1,2,3) → 2−3+1 = 0 ✓ ; B(2,0,1) → 0−1+1 = 0 ✓.

Q: Comment vérifier si une droite est parallèle à un plan ?

Droite D de vecteur directeur u et plan P de normale n. D est parallèle à P si et seulement si u · n = 0 (le vecteur directeur est perpendiculaire à la normale). Exemple : D a pour vecteur directeur u = (1,2,1) et P a pour équation 2x − y + z − 3 = 0 (normale n = (2,−1,1)). u · n = 1×2 + 2×(−1) + 1×1 = 2−2+1 = 1 ≠ 0, donc D n'est pas parallèle à P. Si u · n = 0 et un point de D n'est pas dans P → D parallèle à P. Si u · n = 0 et un point de D est dans P → D incluse dans P.

La géométrie analytique utilise les coordonnées et les vecteurs pour étudier les figures géométriques. Droites, plans, distances et angles se calculent algébriquement. Voici 5 fiches pour maîtriser ces outils au bac de Maths.

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MAT

Vecteurs dans le plan et l'espace

Définition

Un vecteur u = (x, y) dans le plan (ou (x,y,z) dans l'espace) est défini par ses coordonnées. Norme : ||u|| =

(x^{2} + y^{2})

(ou

(x^{2} + y^{2} + z^{2}))

. Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple scalaire de l'autre.

Question probable

Comment vérifier si trois points A, B, C sont alignés ?

Mnémotechnique

Colinéaires : det(AB, AC) = 0 en 2D. En espace : AC = k

\times

AB. Norme : ||AB|| =

((x B - x A)^{2} + (y B - y A)^{2} +

...).

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MAT

Équation de droite dans le plan

Définition

Droite d'équation ax + by + c = 0 (vecteur normal n = (a,b)) ou y = mx + p (pente m). Vecteur directeur u perpendiculaire à n : u = (−b, a) ou (b, −a). Droite passant par A(x₀,y₀) de vecteur directeur u : x = x₀ + tu, y = y₀ + tv (forme paramétrique).

Question probable

Trouver l'équation de la droite passant par A(2,3) et perpendiculaire à D : 3x − 2y + 1 = 0.

Mnémotechnique

Droite normale n = (a,b), vecteur directeur u = (−b,a). Droites perpendiculaires : produit scalaire des directions = 0. Équation : a(x−x₀)+b(y−y₀)=0.

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MAT

Produit scalaire et applications

Définition

u·v = x₁x₂ + y₁y₂ (plan) ou x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ (espace). Aussi u·v = ||u||

\times

||v||

\times

cos

θ

. Orthogonalité : u·v = 0 ↔ u ⊥ v. Le produit scalaire permet de calculer des angles et de démontrer des propriétés géométriques.

Question probable

Comment calculer l'angle entre deux vecteurs u et v ?

Mnémotechnique

u·v = Σxᵢyᵢ. u·v = ||u||||v||cos

θ

. cos

θ

= u·v/(||u||||v||). u⊥v ↔ u·v=0. Projection de u sur v :

(u \cdot v /∣∣ v ∣ ∣^{2}) v

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MAT

Équation de plan dans l'espace

Définition

Plan d'équation ax + by + cz + d = 0, de vecteur normal n = (a,b,c). Plan passant par A(x₀,y₀,z₀) de normale n = (a,b,c) : a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0. Distance de M(x₁,y₁,z₁) au plan :

δ

∣ a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d ∣/ (a^{2} + b^{2} + c^{2})

Question probable

Trouver l'équation du plan passant par A(1,2,3), B(2,0,1), C(0,1,2).

Mnémotechnique

Plan : ax+by+cz+d=0, normale (a,b,c). Pour 3 points : calculer AB et AC, produit vectoriel = normale. Vérifier les 3 points.

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MAT

Distance et positions relatives

Définition

Distance de M à un plan P (ax+by+cz+d=0) :

δ

∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d ∣/ (a^{2} + b^{2} + c^{2})

. Distance de M à une droite D :

δ

= ||AM

\times

u||/||u|| (produit vectoriel, u = vecteur directeur). Positions relatives : parallèle, sécant, confondu.

Question probable

Comment vérifier si une droite est parallèle à un plan ?

Mnémotechnique

D ∥ P ↔ u · n = 0 (directeur ⊥ normale). D ⊂ P ↔ u · n = 0 ET un point de D est dans P. D ∩ P ↔ u · n

\neq =

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