Fiche de révision :
Les Dérivées

Q: Quelle est l'interprétation géométrique du nombre dérivé ?

Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A(a, f(a)). L'équation de cette tangente est y = f'(a)(x − a) + f(a). Si f'(a) > 0, la fonction est localement croissante en a. Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale (possible extremum). Le taux de variation (f(b) − f(a))/(b − a) mesure la variation moyenne sur [a,b].

Q: Comment dériver un quotient de fonctions ?

La formule du quotient : (f/g)' = (f'g − fg')/g². Exemple : si h(x) = (2x+1)/(x²+1), alors h'(x) = (2(x²+1) − (2x+1)(2x))/(x²+1)² = (2x²+2−4x²−2x)/(x²+1)² = (−2x²−2x+2)/(x²+1)². Méthode : numérateur = (dérivée du num × denom) − (num × dérivée du denom), tout divisé par le denom au carré.

Q: Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles à connaître au bac ?

Tableau des dérivées fondamentales : f(x) = xⁿ → f'(x) = nxⁿ⁻¹ ; f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x) ; f(x) = 1/x → f'(x) = −1/x² ; f(x) = eˣ → f'(x) = eˣ ; f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x ; f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x) ; f(x) = cos(x) → f'(x) = −sin(x). Ces formules constituent la base de toute dérivation.

Q: Comment dériver une fonction composée au bac ?

La règle de la chaîne : (f(g(x)))' = g'(x) × f'(g(x)). Application aux formes usuelles : (e^(u(x)))' = u'(x)e^(u(x)) ; (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x) ; (sin(u(x)))' = u'(x)cos(u(x)) ; ((u(x))ⁿ)' = n u'(x)(u(x))ⁿ⁻¹ ; (√(u(x)))' = u'(x)/(2√(u(x))). Exemple : (e^(x²+1))' = 2x × e^(x²+1).

Q: Comment dresser un tableau de variations à partir de la dérivée ?

Méthode : (1) Calculer f'(x). (2) Résoudre f'(x) = 0 et étudier son signe. (3) En déduire les variations de f. (4) Calculer les valeurs de f aux points critiques. Un extremum local en x₀ : si f' change de + à −, c'est un maximum local ; si f' change de − à +, c'est un minimum local. Si f' ne change pas de signe en x₀, c'est un point d'inflexion.

Les dérivées sont au cœur du programme de Maths Terminale et omniprésentes au bac. Elles permettent d'étudier les variations d'une fonction et d'optimiser des quantités. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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Essayer

MAT

Le nombre dérivé

Définition

Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux de variation : f'(a) = lim[h→0] (f(a+h) − f(a))/h. Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Question probable

Quelle est l'interprétation géométrique du nombre dérivé ?

Mnémotechnique

f'(a) = pente de la tangente en a. Équation tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).

1 / 5

MAT

Règles de dérivation

Définition

Si f et g sont dérivables : (f + g)' = f' + g' ;

(\lambdaf)^{'}

\lambdaf^{'}

; (fg)' = f'g + fg' ; (f/g)' = (f'g −

f g^{'}) / g^{2}

(avec g

\neq =

0). Ces règles permettent de dériver toute fonction composée d'opérations algébriques.

Question probable

Comment dériver un quotient de fonctions ?

Mnémotechnique

(fg)' = f'g + fg'. (f/g)' = (f'g −

f g^{'}) / g^{2}

. Règle du quotient : "num'

\times

denom − num

\times

denom', sur

d e n o m^{2} "

2 / 5

MAT

Dérivées des fonctions usuelles

Définition

Fonctions usuelles et leurs dérivées : (xⁿ)' =

nxⁿ⁻^1

;

(\sqrtx)^{'}

1/ (2 \sqrtx)

; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x ; (ln x)' = 1/x (x > 0) ; (eˣ)' = eˣ. Ces formules sont à connaître par cœur pour le bac.

Question probable

Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles à connaître au bac ?

Mnémotechnique

eˣ → eˣ (inchangée). ln(x) → 1/x. sin → cos. cos → −sin. xⁿ →

nxⁿ⁻^1

3 / 5

MAT

Dérivée d'une composée

Définition

Si h = f ∘ g (h(x) = f(g(x))), alors h'(x) = g'(x)

\times

f'(g(x)). En pratique : (u(v(x)))' = v'(x)

\times

u'(v(x)). Cas importants : (eᵘ)' = u'eᵘ ; (ln u)' = u'/u ; (uⁿ)' =

nu'uⁿ⁻^1

Question probable

Comment dériver une fonction composée au bac ?

Mnémotechnique

(f(u))' = u'

\times

f'(u). Pour eᵘ : dériver l'exposant puis multiplier. Pour ln(u) : u'/u.

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MAT

Applications : tableau de variations

Définition

Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est strictement croissante. Si f'(x) < 0, f est strictement décroissante. Un extremum local se trouve en un point où f'(x) = 0 avec changement de signe de f'.

Question probable

Comment dresser un tableau de variations à partir de la dérivée ?

Mnémotechnique

f' > 0 → f croissante. f' < 0 → f décroissante. f'(x₀) = 0 + changement de signe → extremum.

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