Fiche de révision :
Les Probabilités

Q: Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?

E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ) : somme de chaque valeur multipliée par sa probabilité. V(X) = Σ (xᵢ − E(X))² P(X = xᵢ) = E(X²) − (E(X))². Interprétation : E(X) est la valeur "attendue en moyenne" sur un grand nombre d'expériences (loi des grands nombres). L'écart-type σ indique la dispersion autour de la moyenne. Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Q: Comment utiliser la loi binomiale pour calculer des probabilités ?

La loi B(n,p) s'applique quand : n épreuves identiques et indépendantes, chacune à deux issues (succès/échec), P(succès) = p constante. P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ. Pour P(X ≤ k), on somme les probabilités ou utilise la calculatrice (binomFdp et binomRép sur Casio, binompdf et binomcdf sur TI). Exemple : 10 lancers de dé, P(obtenir exactement 3 six) = C(10,3) × (1/6)³ × (5/6)⁷.

Q: Comment utiliser la loi normale pour calculer des probabilités ?

Pour X ~ N(μ,σ²) : P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,68 ; P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,95 ; P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997. Pour calculer P(a ≤ X ≤ b), on utilise la calculatrice : normalFdp ou normalcdf selon le modèle. On peut aussi standardiser : Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1) et utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

Q: Qu'est-ce que l'intervalle de fluctuation et comment l'utiliser en test statistique ?

L'intervalle de fluctuation I_f = [p − 1/√n ; p + 1/√n] est valide pour n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5. Utilisation en test : si la fréquence observée f₀ est hors de I_f, on rejette l'hypothèse p₀ (au seuil 5%). Exemple : si p = 0,5, n = 100, I_f = [0,5 − 0,1 ; 0,5 + 0,1] = [0,4 ; 0,6]. Si on observe f₀ = 0,35, on rejette l'hypothèse.

Q: Comment interpréter la loi des grands nombres dans un contexte concret ?

La loi des grands nombres (Jacob Bernoulli) stipule que la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique quand n → +∞. Exemple : lancer une pièce 10 fois, on peut obtenir 8 faces ; en la lançant 10 000 fois, la fréquence sera proche de 0,5. Attention : la loi des grands nombres ne dit pas que les expériences futures "compensent" les résultats passés (erreur du joueur). Chaque lancer reste indépendant.

Les probabilités représentent une part importante du programme de Maths Terminale et du bac. Variables aléatoires, loi binomiale et loi normale sont incontournables. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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Essayer

MAT

Variable aléatoire discrète

Définition

Une variable aléatoire discrète X prend des valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec des probabilités P(X = xᵢ). L'espérance E(X) = Σ xᵢ P(X = xᵢ) est la valeur moyenne. La variance V(X) =

E (X^{2})

−

(E (X))^{2}

mesure la dispersion. L'écart-type

σ (X)

\sqrtV (X)

Question probable

Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?

Mnémotechnique

E(X) = Σ xᵢ pᵢ. V(X) =

E (X^{2})

−

E (X)^{2}

σ

\sqrtV (X)

. Plus

σ

est grand → plus dispersé.

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MAT

Loi binomiale B(n,p)

Définition

On répète n fois une épreuve de Bernoulli (succès avec probabilité p). X = nombre de succès suit B(n,p). P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ. Espérance E(X) = np. Variance V(X) = np(1−p). Écart-type

σ

(n p (1 - p))

Question probable

Comment utiliser la loi binomiale pour calculer des probabilités ?

Mnémotechnique

B(n,p) : n épreuves, p = P(succès). P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ. E(X) = np.

σ

(n p (1 - p))

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MAT

Loi normale

N (μ

σ^{2})

Définition

La loi normale

N (μ

σ^{2})

est une loi continue définie par sa moyenne

μ

et son écart-type

σ

. La courbe de densité est une "cloche" symétrique centrée en

μ

. La loi normale centrée réduite N(0,1) a

μ

= 0 et

σ

= 1.

Question probable

Comment utiliser la loi normale pour calculer des probabilités ?

Mnémotechnique

N (μ

σ^{2})

: cloche centrée en

μ

. Règle 68-95-99,7 :

\pm 1 σ

→ 68%,

\pm 2 σ

→ 95%,

\pm 3 σ

→ 99,7%.

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MAT

Intervalle de fluctuation

Définition

Pour X ~ B(n,p) avec n grand, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f = X/n est approximativement [p −

1/ \sqrtn

; p +

1/ \sqrtn]

. Il contient la fréquence observée dans 95% des cas.

Question probable

Qu'est-ce que l'intervalle de fluctuation et comment l'utiliser en test statistique ?

Mnémotechnique

I_f = [p −

1/ \sqrtn

; p +

1/ \sqrtn]

au seuil 95%. Si fréquence observée hors de I_f → rejeter l'hypothèse.

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MAT

Loi des grands nombres

Définition

Loi des grands nombres : quand le nombre d'expériences augmente indéfiniment, la fréquence d'un événement converge en probabilité vers la probabilité théorique. Pour X₁, ..., Xₙ i.i.d. d'espérance

μ

, la moyenne empirique (X₁+...+Xₙ)/n converge vers

μ

Question probable

Comment interpréter la loi des grands nombres dans un contexte concret ?

Mnémotechnique

Loi des grands nombres : fréquence → probabilité quand n →

\infty

. Pas de "compensation" des résultats passés.

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