Comment calculer ∫₀¹ (2x + eˣ) dx ?

∫₀¹ (2x + eˣ) dx = [x² + eˣ]₀¹ = (1 + e¹) − (0 + e⁰) = 1 + e − 1 = e. Méthode : on cherche une primitive de chaque terme (primitive de 2x est x², primitive de eˣ est eˣ), on évalue la primitive en b puis en a, et on fait la différence F(b) − F(a). La notation crochet [F(x)]ₐᵇ est la convention au bac.

Mathématiques

Fiche de révision :
Les Intégrales

Q: Quelle est la définition de l'intégrale et son interprétation géométrique ?

L'intégrale ∫ₐᵇ f(x)dx est la limite des sommes de Riemann. Géométriquement, si f ≥ 0 sur [a,b], elle mesure l'aire en unités d'aire (u.a.) de la surface délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Si f prend des valeurs négatives, l'intégrale peut être négative. Pour calculer l'aire réelle, on intègre |f(x)|.

Q: Comment trouver une primitive d'une fonction usuelle ?

Les primitives s'obtiennent en "remontant" la dérivation. Exemples : primitive de 3x² = x³ + C ; primitive de 1/x = ln|x| + C (pour x ≠ 0) ; primitive de eˣ = eˣ + C ; primitive de cos(x) = sin(x) + C ; primitive de sin(x) = −cos(x) + C. Pour les formes composées : primitive de u'eᵘ = eᵘ + C ; primitive de u'/u = ln|u| + C ; primitive de u'uⁿ = uⁿ⁺¹/(n+1) + C.

Q: Comment calculer l'aire comprise entre deux courbes ?

Étapes : (1) Trouver les intersections en résolvant f(x) = g(x). (2) Déterminer quelle courbe est au-dessus sur chaque intervalle. (3) Calculer A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx en découpant si nécessaire. Exemple : entre y = x² et y = x sur [0,1], on a x ≥ x² sur [0,1], donc A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.

Q: Comment utiliser l'intégration par parties pour calculer ∫₀¹ x eˣ dx ?

On pose u'= eˣ (d'où u = eˣ) et v = x (d'où v' = 1). Alors : ∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1·e − 0) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1. Choix stratégique : v doit se simplifier en dérivant (polynôme), et u' doit avoir une primitive connue (eˣ, sin, cos). Mnémotechnique : ALPES (Arctan, Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus).

Les intégrales sont une notion centrale de Maths Terminale, liée aux primitives et au calcul d'aires. Elles apparaissent régulièrement dans les sujets de bac, notamment pour les calculs d'aire et les équations différentielles. Voici 5 fiches essentielles.

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MAT

Intégrale de Riemann

Définition

L'intégrale de Riemann de f sur [a,b] (f continue et positive) représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses. Elle est notée

\int_{a}^{b}

f(x)dx et se calcule à l'aide d'une primitive F de f :

\int_{a}^{b}

f(x)dx = F(b) − F(a).

Question probable

Quelle est la définition de l'intégrale et son interprétation géométrique ?

Mnémotechnique

\int_{a}^{b}

f(x)dx = F(b) − F(a) avec F primitive de f. Aire =

\int ∣ f (x) ∣ d x

si f change de signe.

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MAT

Primitives des fonctions usuelles

Définition

F est une primitive de f si F' = f. Primitives usuelles :

\intx^{n} d x

xⁿ⁺^1/(n+1)

\neq =

−1) ;

\int (1/ x) d x

= ln|x| ;

\inte^{x} d x

= eˣ ;

\intsin (x) d x

= −cos(x) ;

\intcos (x) d x

= sin(x). Toute primitive de f est de la forme F(x) + C.

Question probable

Comment trouver une primitive d'une fonction usuelle ?

Mnémotechnique

Primitive = "antidérivée". u'eᵘ → eᵘ. u'/u → ln|u|. xⁿ →

xⁿ⁺^1/(n+1)

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MAT

Calcul d'une intégrale

Définition

Pour calculer

\int_{a}^{b}

f(x)dx : (1) trouver une primitive F de f ; (2) appliquer

\int_{a}^{b}

f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a). Propriétés : linéarité, relation de Chasles

(\int_{a}^{c}

\int_{a}^{b}

\int_{β}^{c})

\int_{a}^{a}

= 0,

\int_{a}^{b}

- \int_{β}^{a}

Question probable

Comment calculer

\int_{0}^{1}

(2x + eˣ) dx ?

Mnémotechnique

\int_{a}^{b}

f = [F]ₐᵇ = F(b) − F(a). Chasles :

\int_{a}^{c}

\int_{a}^{b}

\int_{β}^{c}

. Linéarité :

\int (\alphaf

\betag)

α \intf

β \intg

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MAT

Calcul d'aire entre deux courbes

Définition

L'aire entre les courbes de f et g sur [a,b], avec f(x)

\geq

g(x), vaut A =

\int_{a}^{b}

(f(x) − g(x)) dx. Si les courbes se croisent, on découpe l'intervalle et on intègre |f(x) − g(x)|.

Question probable

Comment calculer l'aire comprise entre deux courbes ?

Mnémotechnique

Aire entre courbes =

\int ∣ f

− g|dx. Chercher les intersections, vérifier quelle courbe est au-dessus.

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MAT

Intégration par parties

Définition

La formule d'intégration par parties (IPP) :

\int_{a}^{b}

u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ −

\int_{a}^{b}

u(x)v'(x)dx. Elle s'applique quand l'intégrande est un produit de deux fonctions dont l'une se "simplifie" en dérivant.

Question probable

Comment utiliser l'intégration par parties pour calculer

\int_{0}^{1}

x eˣ dx ?

Mnémotechnique

IPP :

\intu^{'} v

= [uv] −

\intuv^{'}

. Choisir v = polynôme (se simplifie). ALPES pour l'ordre de priorité.

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