Mathématiques
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Fiche de révision :
Les Intégrales

Les intégrales sont une notion centrale de Maths Terminale, liée aux primitives et au calcul d'aires. Elles apparaissent régulièrement dans les sujets de bac, notamment pour les calculs d'aire et les équations différentielles. Voici 5 fiches essentielles.

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MAT
Intégrale de Riemann
Définition
L'intégrale de Riemann de f sur [a,b] (f continue et positive) représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses. Elle est notée f(x)dx et se calcule à l'aide d'une primitive F de f : f(x)dx = F(b) − F(a).
Question probable
Quelle est la définition de l'intégrale et son interprétation géométrique ?
Réponse
L'intégrale f(x)dx est la limite des sommes de Riemann. Géométriquement, si f 0 sur [a,b], elle mesure l'aire en unités d'aire (u.a.) de la surface délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Si f prend des valeurs négatives, l'intégrale peut être négative. Pour calculer l'aire réelle, on intègre |f(x)|.
Mnémotechnique
f(x)dx = F(b) − F(a) avec F primitive de f. Aire = si f change de signe.
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MAT
Primitives des fonctions usuelles
Définition
F est une primitive de f si F' = f. Primitives usuelles : = xⁿ⁺^1/(n+1) (n −1) ; = ln|x| ; = eˣ ; = −cos(x) ; = sin(x). Toute primitive de f est de la forme F(x) + C.
Question probable
Comment trouver une primitive d'une fonction usuelle ?
Réponse
Les primitives s'obtiennent en "remontant" la dérivation. Exemples : primitive de = + C ; primitive de 1/x = ln|x| + C (pour x 0) ; primitive de eˣ = eˣ + C ; primitive de cos(x) = sin(x) + C ; primitive de sin(x) = −cos(x) + C. Pour les formes composées : primitive de u'eᵘ = eᵘ + C ; primitive de u'/u = ln|u| + C ; primitive de u'uⁿ = uⁿ⁺^1/(n+1) + C.
Mnémotechnique
Primitive = "antidérivée". u'eᵘ → eᵘ. u'/u → ln|u|. xⁿ → xⁿ⁺^1/(n+1).
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MAT
Calcul d'une intégrale
Définition
Pour calculer f(x)dx : (1) trouver une primitive F de f ; (2) appliquer f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a). Propriétés : linéarité, relation de Chasles = + , = 0, = .
Question probable
Comment calculer (2x + eˣ) dx ?
Réponse
(2x + eˣ) dx = + = (1 + − (0 + = 1 + e − 1 = e. Méthode : on cherche une primitive de chaque terme (primitive de 2x est , primitive de eˣ est eˣ), on évalue la primitive en b puis en a, et on fait la différence F(b) − F(a). La notation crochet [F(x)]ₐᵇ est la convention au bac.
Mnémotechnique
f = [F]ₐᵇ = F(b) − F(a). Chasles : = + . Linéarité : + = + .
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MAT
Calcul d'aire entre deux courbes
Définition
L'aire entre les courbes de f et g sur [a,b], avec f(x) g(x), vaut A = (f(x) − g(x)) dx. Si les courbes se croisent, on découpe l'intervalle et on intègre |f(x) − g(x)|.
Question probable
Comment calculer l'aire comprise entre deux courbes ?
Réponse
Étapes : (1) Trouver les intersections en résolvant f(x) = g(x). (2) Déterminer quelle courbe est au-dessus sur chaque intervalle. (3) Calculer A = |f(x) − g(x)| dx en découpant si nécessaire. Exemple : entre y = et y = x sur [0,1], on a x sur [0,1], donc A = (x − dx = = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.
Mnémotechnique
Aire entre courbes = − g|dx. Chercher les intersections, vérifier quelle courbe est au-dessus.
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MAT
Intégration par parties
Définition
La formule d'intégration par parties (IPP) : u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − u(x)v'(x)dx. Elle s'applique quand l'intégrande est un produit de deux fonctions dont l'une se "simplifie" en dérivant.
Question probable
Comment utiliser l'intégration par parties pour calculer x eˣ dx ?
Réponse
On pose u'= eˣ (d'où u = eˣ) et v = x (d'où v' = 1). Alors : x eˣ dx = [x eˣ dx = (1·e − 0) − = e − (e − 1) = 1. Choix stratégique : v doit se simplifier en dérivant (polynôme), et u' doit avoir une primitive connue (eˣ, sin, cos). Mnémotechnique : ALPES (Arctan, Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus).
Mnémotechnique
IPP : = [uv] − . Choisir v = polynôme (se simplifie). ALPES pour l'ordre de priorité.
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