Fiche de révision :
Les Suites

Q: Comment reconnaître et caractériser une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique si la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante et égale à la raison r. Si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, elle est décroissante ; si r = 0, elle est constante. Le terme général uₙ = u₀ + nr permet de calculer n'importe quel terme sans énumérer tous les précédents. Par exemple, u₁₀₀ = u₀ + 100r.

Q: Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ≠ 1, la somme S = u₀ + u₁ + ... + uₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Si |q| 1, les termes tendent vers +∞. Exemple type : remboursement d'emprunt, intérêts composés.

Q: Comment étudier la limite d'une suite et conclure sur sa convergence ?

Pour calculer une limite, on simplifie par le terme dominant (plus grand degré). Si uₙ = (3n² + n)/(2n² − 1), on divise par n² : limite = 3/2. Le théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et lim vₙ = lim wₙ = ℓ, alors lim uₙ = ℓ. Une suite monotone bornée est convergente (théorème de la limite monotone).

Q: Comment rédiger une démonstration par récurrence au bac ?

Structure obligatoire : (1) Initialisation — vérifier que P(n₀) est vraie (calcul numérique). (2) Hérédité — supposer P(n) vraie pour un n ≥ n₀ fixé (hypothèse de récurrence), puis démontrer P(n+1). On utilise explicitement l'hypothèse de récurrence dans le calcul. (3) Conclusion — "par principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀". Erreur fréquente : oublier de citer l'hypothèse de récurrence.

Q: Comment démontrer qu'une suite est monotone ?

Méthode 1 : étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ. Si uₙ₊₁ − uₙ = f(uₙ) − uₙ, on peut exprimer la différence en fonction de uₙ. Méthode 2 : pour les suites positives, étudier uₙ₊₁/uₙ (> 1 si croissante, u₀ implique la suite croissante.

Les suites sont une notion fondamentale de Maths Terminale, présente dans la plupart des sujets de bac. Elles permettent de modéliser des phénomènes évolutifs et servent de base à l'analyse. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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Essayer

MAT

Suite arithmétique

Définition

Une suite (uₙ) est arithmétique si elle vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r, où r est la raison. Le terme général est uₙ = u₀ + nr (ou uₙ = u₁ + (n−1)r). La somme des n+1 premiers termes vaut (n+1)(u₀ + uₙ)/2.

Question probable

Comment reconnaître et caractériser une suite arithmétique ?

Mnémotechnique

Suite arithmétique → addition constante de r. uₙ = u₀ + nr. Somme = nb de termes

\times

(premier + dernier)/2.

1 / 5

MAT

Suite géométrique

Définition

Une suite (uₙ) est géométrique si elle vérifie uₙ₊₁ = q

\times

uₙ, où q est la raison. Le terme général est uₙ = u₀

\times

qⁿ. La somme des n+1 premiers termes (q

\neq =

1) vaut u₀

\times

(1 −

qⁿ⁺^1)/(1

− q).

Question probable

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Mnémotechnique

Suite géométrique → multiplication constante par q. uₙ = u₀

\times

qⁿ. Somme = u₀

\times

(1 −

qⁿ⁺^1)/(1

− q).

2 / 5

MAT

Limite d'une suite

Définition

Une suite (uₙ) converge vers ℓ si uₙ se rapproche indéfiniment de ℓ quand n →

+ \infty

(noté lim uₙ = ℓ). Une suite diverge si elle tend vers

+ \infty

- \infty

ou n'a pas de limite. Les théorèmes des gendarmes et de comparaison sont des outils clés.

Question probable

Comment étudier la limite d'une suite et conclure sur sa convergence ?

Mnémotechnique

Limite : terme dominant. Convergence : monotone + bornée. Gendarmes : encadrer la suite.

3 / 5

MAT

Démonstration par récurrence

Définition

La démonstration par récurrence prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n

\geq

n₀. Étape 1 : initialisation (vérifier P(n₀)). Étape 2 : hérédité (si P(n) est vraie, montrer que P(n+1) l'est aussi). Étape 3 : conclusion.

Question probable

Comment rédiger une démonstration par récurrence au bac ?

Mnémotechnique

Récurrence = Init + Hérédité + Conclusion. H.R. : "Supposons P(n) vraie..." puis montrer P(n+1).

4 / 5

MAT

Suites et variations

Définition

Une suite est croissante si uₙ₊₁ − uₙ > 0 (ou uₙ₊₁/uₙ > 1 pour une suite positive), décroissante si uₙ₊₁ − uₙ < 0, et monotone si elle est constamment croissante ou décroissante. Elle est majorée si uₙ

\leq

M pour tout n, minorée si uₙ

\geq

Question probable

Comment démontrer qu'une suite est monotone ?

Mnémotechnique

Croissante : uₙ₊₁ − uₙ > 0. Décroissante : < 0. Vérifier le signe ou le rapport selon le contexte.

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