Mathématiques
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Fiche de révision :
La Géométrie dans l'Espace

La géométrie dans l'espace est une notion de Maths Terminale qui étend la géométrie plane aux trois dimensions. Vecteurs, plans et droites dans l'espace sont au programme du bac. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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MAT
Vecteurs dans l'espace
Définition
Un vecteur dans l'espace est défini par ses trois coordonnées (x, y, z). Opérations : addition coordonnée par coordonnée, multiplication par un scalaire. La norme est ||u|| = . Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre.
Question probable
Comment calculer la norme d'un vecteur et vérifier la colinéarité ?
Réponse
Pour u = (2, −1, 3) : ||u|| = = . Pour vérifier si u = (1,2,3) et v = (2,4,6) sont colinéaires : v = 2u, donc oui. Pour déterminer si A, B, C sont alignés : calculer AB et AC et vérifier si l'un est multiple de l'autre. La distance AB = ||AB|| = .
Mnémotechnique
||u|| = . Vecteurs colinéaires → l'un est multiple de l'autre. AB = B − A en coordonnées.
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MAT
Équation d'un plan
Définition
Un plan est déterminé par un point A(x₀,y₀,z₀) et un vecteur normal n = (a,b,c) (perpendiculaire au plan). Son équation est ax + by + cz + d = 0 avec d = −(ax₀+by₀+cz₀). Deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires.
Question probable
Comment trouver l'équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal ?
Réponse
Plan de normale n = (2,−1,3) passant par A(1,0,2) : 2(x−1) − 1(y−0) + 3(z−2) = 0, soit 2x − y + 3z − 2 − 6 = 0, soit 2x − y + 3z − 8 = 0. Vérification : A(1,0,2) → 2(1) − 0 + 3(2) − 8 = 2 + 6 − 8 = 0 ✓. Pour trouver le plan passant par 3 points A, B, C : calculer AB AC (produit vectoriel) pour obtenir la normale.
Mnémotechnique
Plan : ax + by + cz + d = 0. Normale = (a,b,c). Substituer le point pour trouver d.
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MAT
Droite dans l'espace (équation paramétrique)
Définition
Une droite de l'espace passe par A(x₀,y₀,z₀) et a pour vecteur directeur u = (l,m,n). Son équation paramétrique est : x = x₀ + lt ; y = y₀ + mt ; z = z₀ + nt (t ∈ ℝ). On dit aussi représentation paramétrique.
Question probable
Comment écrire l'équation paramétrique d'une droite ?
Réponse
Droite passant par A(1,2,3) avec vecteur directeur u = (1,−1,2) : x = 1+t ; y = 2−t ; z = 3+2t. Pour vérifier qu'un point B(3,0,7) appartient à la droite : 3 = 1+t → t = 2 ; 0 = 2−t → t = 2 ; 7 = 3+2t → t = 2. Les trois équations donnent t = 2, donc B appartient à la droite. Si les valeurs de t sont différentes, le point n'appartient pas à la droite.
Mnémotechnique
Droite paramétrique : (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(l,m,n). Tester si un point est sur la droite → résoudre en t.
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MAT
Distance d'un point à un plan
Définition
La distance d'un point M(x₀,y₀,z₀) au plan ax + by + cz + d = 0 est : = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / .
Question probable
Comment calculer la distance d'un point à un plan ?
Réponse
Distance du point M(1,2,3) au plan 2x − y + 2z − 6 = 0 : = |2(1) − (2) + 2(3) − 6| / = |2 − 2 + 6 − 6| / = |0| / 3 = 0. Le point M appartient donc au plan. Autre exemple : M(0,0,0) au plan x + 2y − 2z + 3 = 0 : = |0 + 0 − 0 + 3| / = 3/3 = 1. Le pied de la perpendiculaire s'obtient en paramétrant la droite issue de M de vecteur directeur la normale.
Mnémotechnique
dist(M, plan) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / . Numérateur : substituer les coordonnées de M. Dénominateur : norme de la normale.
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MAT
Produit scalaire dans l'espace
Définition
Le produit scalaire de u = (x₁,y₁,z₁) et v = (x₂,y₂,z₂) est u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Aussi u·v = ||u|| ||v|| cos est l'angle entre les vecteurs. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.
Question probable
Comment utiliser le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité ?
Réponse
u = (1,2,−1) et v = (2,0,2) : u·v = + + = 2 + 0 − 2 = 0, donc u ⊥ v. Calcul d'angle : cos = u·v / (||u|| ||v||). Pour u = (1,1,0) et v = (1,0,1) : u·v = 1, ||u|| = , ||v|| = , cos = 1/2, = . Application : vérifier qu'un vecteur est normal à un plan (doit être orthogonal à tous les vecteurs du plan).
Mnémotechnique
u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. u·v = 0 ↔ u ⊥ v. cos = u·v / (||u|| ||v||).
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