Fiche de révision :
La Géométrie dans l'Espace

Q: Comment calculer la norme d'un vecteur et vérifier la colinéarité ?

Pour u = (2, −1, 3) : ||u|| = √(4+1+9) = √14. Pour vérifier si u = (1,2,3) et v = (2,4,6) sont colinéaires : v = 2u, donc oui. Pour déterminer si A, B, C sont alignés : calculer AB et AC et vérifier si l'un est multiple de l'autre. La distance AB = ||AB|| = √((xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²).

Q: Comment trouver l'équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal ?

Plan de normale n = (2,−1,3) passant par A(1,0,2) : 2(x−1) − 1(y−0) + 3(z−2) = 0, soit 2x − y + 3z − 2 − 6 = 0, soit 2x − y + 3z − 8 = 0. Vérification : A(1,0,2) → 2(1) − 0 + 3(2) − 8 = 2 + 6 − 8 = 0 ✓. Pour trouver le plan passant par 3 points A, B, C : calculer AB × AC (produit vectoriel) pour obtenir la normale.

Q: Comment écrire l'équation paramétrique d'une droite ?

Droite passant par A(1,2,3) avec vecteur directeur u = (1,−1,2) : x = 1+t ; y = 2−t ; z = 3+2t. Pour vérifier qu'un point B(3,0,7) appartient à la droite : 3 = 1+t → t = 2 ; 0 = 2−t → t = 2 ; 7 = 3+2t → t = 2. Les trois équations donnent t = 2, donc B appartient à la droite. Si les valeurs de t sont différentes, le point n'appartient pas à la droite.

Q: Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

Distance du point M(1,2,3) au plan 2x − y + 2z − 6 = 0 : δ = |2(1) − (2) + 2(3) − 6| / √(4+1+4) = |2 − 2 + 6 − 6| / √9 = |0| / 3 = 0. Le point M appartient donc au plan. Autre exemple : M(0,0,0) au plan x + 2y − 2z + 3 = 0 : δ = |0 + 0 − 0 + 3| / √(1+4+4) = 3/3 = 1. Le pied de la perpendiculaire s'obtient en paramétrant la droite issue de M de vecteur directeur la normale.

Q: Comment utiliser le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité ?

u = (1,2,−1) et v = (2,0,2) : u·v = 1×2 + 2×0 + (−1)×2 = 2 + 0 − 2 = 0, donc u ⊥ v. Calcul d'angle : cos θ = u·v / (||u|| × ||v||). Pour u = (1,1,0) et v = (1,0,1) : u·v = 1, ||u|| = √2, ||v|| = √2, cos θ = 1/2, θ = π/3. Application : vérifier qu'un vecteur est normal à un plan (doit être orthogonal à tous les vecteurs du plan).

La géométrie dans l'espace est une notion de Maths Terminale qui étend la géométrie plane aux trois dimensions. Vecteurs, plans et droites dans l'espace sont au programme du bac. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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Essayer

MAT

Vecteurs dans l'espace

Définition

Un vecteur dans l'espace est défini par ses trois coordonnées (x, y, z). Opérations : addition coordonnée par coordonnée, multiplication par un scalaire. La norme est ||u|| =

(x^{2} + y^{2} + z^{2})

. Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre.

Question probable

Comment calculer la norme d'un vecteur et vérifier la colinéarité ?

Mnémotechnique

||u|| =

(x^{2} + y^{2} + z^{2})

. Vecteurs colinéaires → l'un est multiple de l'autre. AB = B − A en coordonnées.

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MAT

Équation d'un plan

Définition

Un plan est déterminé par un point A(x₀,y₀,z₀) et un vecteur normal n = (a,b,c) (perpendiculaire au plan). Son équation est ax + by + cz + d = 0 avec d = −(ax₀+by₀+cz₀). Deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires.

Question probable

Comment trouver l'équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal ?

Mnémotechnique

Plan : ax + by + cz + d = 0. Normale = (a,b,c). Substituer le point pour trouver d.

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MAT

Droite dans l'espace (équation paramétrique)

Définition

Une droite de l'espace passe par A(x₀,y₀,z₀) et a pour vecteur directeur u = (l,m,n). Son équation paramétrique est : x = x₀ + lt ; y = y₀ + mt ; z = z₀ + nt (t ∈ ℝ). On dit aussi représentation paramétrique.

Question probable

Comment écrire l'équation paramétrique d'une droite ?

Mnémotechnique

Droite paramétrique : (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(l,m,n). Tester si un point est sur la droite → résoudre en t.

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MAT

Distance d'un point à un plan

Définition

La distance d'un point M(x₀,y₀,z₀) au plan ax + by + cz + d = 0 est :

δ

= |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| /

(a^{2} + b^{2} + c^{2})

Question probable

Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

Mnémotechnique

dist(M, plan) = |ax₀+by₀+cz₀+d| /

(a^{2} + b^{2} + c^{2})

. Numérateur : substituer les coordonnées de M. Dénominateur : norme de la normale.

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MAT

Produit scalaire dans l'espace

Définition

Le produit scalaire de u = (x₁,y₁,z₁) et v = (x₂,y₂,z₂) est u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Aussi u·v = ||u||

\times

||v||

\times

cos

θ

où

θ

est l'angle entre les vecteurs. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.

Question probable

Comment utiliser le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité ?

Mnémotechnique

u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. u·v = 0 ↔ u ⊥ v. cos

θ

= u·v / (||u|| ||v||).

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