Comment utiliser la relation cos²x + sin²x = 1 ?

Applications : (1) si sin x = 3/5, cos²x = 1 − 9/25 = 16/25, donc cos x = ±4/5 (le signe dépend du quadrant). (2) Simplifier cos²x − sin²x = cos²x − (1 − cos²x) = 2cos²x − 1. (3) Linéarisation : cos²x = (1 + cos 2x)/2 et sin²x = (1 − cos 2x)/2 (formules de duplication). Ces identités sont indispensables pour simplifier et intégrer des expressions trigonométriques.

Mathématiques

Fiche de révision :
La Trigonométrie

Q: Quelles sont les valeurs remarquables de cos et sin à connaître au bac ?

Valeurs à connaître : cos 0 = 1, sin 0 = 0 ; cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 ; cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2 ; cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 ; cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1 ; cos(π) = −1, sin(π) = 0. Méthode : le tableau "1 2 3" : pour cos → √3/2, √2/2, 1/2 de 0 à π/2 ; pour sin → 1/2, √2/2, √3/2.

Q: Comment utiliser les formules d'addition pour calculer cos(π/12) ?

cos(π/12) = cos(π/3 − π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4. Les formules d'addition permettent aussi de prouver des identités et de résoudre des équations trigonométriques. Sin 2x = 2 sin x cos x est utile pour résoudre sin 2x = sin x.

Q: Comment dériver des expressions trigonométriques ?

Exemples : (sin(2x+1))' = 2 cos(2x+1) ; (cos(x²))' = −2x sin(x²) ; (sin²x)' = 2 sin x × cos x = sin 2x (règle du produit ou composition). Pour intégrer : ∫ cos(ax) dx = (1/a) sin(ax) + C ; ∫ sin(ax) dx = −(1/a) cos(ax) + C. La linéarisation (cos²x = (1+cos 2x)/2) est souvent nécessaire avant d'intégrer cos²x ou sin²x.

Q: Comment résoudre l'équation sin(x) = 1/2 sur [0 ; 2π] ?

sin(x) = 1/2 : arcsin(1/2) = π/6. Solutions sur [0 ; 2π] : x = π/6 et x = π − π/6 = 5π/6. Solutions générales : x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ (k ∈ ℤ). Pour cos(x) = 1/2 : x = ±π/3 + 2kπ. Pour sin(2x) = sin(x) : 2x = x + 2kπ (x = 2kπ) ou 2x = π − x + 2kπ (x = π/3 + 2kπ/3). Toujours vérifier les solutions dans l'intervalle demandé.

La trigonométrie est une composante incontournable de Maths Terminale. Valeurs remarquables, formules d'addition et équations trigonométriques sont régulièrement au programme du bac. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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Essayer

MAT

Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré en O. Pour un angle

θ

mesuré en radians depuis l'axe positif des abscisses, le point M sur le cercle a pour coordonnées (cos

θ

, sin

θ)

. Conversions : 180° =

π

rad.

Question probable

Quelles sont les valeurs remarquables de cos et sin à connaître au bac ?

Mnémotechnique

Tableau 1-2-3 : cos(0,

π /6

π /4

π /3

π /2)

(4/4)

(3/4)

(2/4)

(1/4)

(0/4)

= 1,

3 /2

2 /2

, 1/2, 0.

1 / 5

MAT

Formule fondamentale

co s^{2} (x)

s i n^{2} (x)

= 1

Définition

Pour tout réel x :

co s^{2} (x)

s i n^{2} (x)

= 1. Cette identité découle du théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique de rayon 1. Elle permet d'exprimer cos en fonction de sin et réciproquement.

Question probable

Comment utiliser la relation

co s^{2} x

s i n^{2} x

= 1 ?

Mnémotechnique

co s^{2} x

s i n^{2} x

= 1 (Pythagore sur cercle unité).

co s^{2} x

= (1 + cos 2x)/2.

s i n^{2} x

= (1 − cos 2x)/2.

2 / 5

MAT

Formules d'addition

Définition

cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b ; cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b ; sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b ; sin(a−b) = sin a cos b − cos a sin b. Cas particulier (duplication) : cos 2a =

co s^{2} a

−

s i n^{2} a

2 co s^{2} a

− 1 = 1 −

2 s i n^{2} a

; sin 2a = 2 sin a cos a.

Question probable

Comment utiliser les formules d'addition pour calculer

cos (π /12)

Mnémotechnique

cos(a+b) = cos cos − sin sin. sin(a+b) = sin cos + cos sin. Mémotechnique : C-C-SS et SC-CS.

3 / 5

MAT

Dérivées de cos et sin

Définition

(sin x)' = cos x et (cos x)' = −sin x. Par composition : (sin(u))' = u' cos(u) et (cos(u))' = −u' sin(u). tan x = sin x / cos x a pour dérivée

1/ co s^{2} x

= 1 +

t a n^{2} x

Question probable

Comment dériver des expressions trigonométriques ?

Mnémotechnique

(sin)' = cos. (cos)' = −sin. (sin u)' = u'cos u. (cos u)' = −u'sin u. Retenir : dérivée de sin → cos, dérivée de cos → −sin.

4 / 5

MAT

Équations trigonométriques

Définition

sin(x) = a (|a|

\leq

1) a deux familles de solutions sur [0 ;

2 π]

: x = arcsin(a) et x =

π

− arcsin(a). cos(x) = a (|a|

\leq

1) : x =

\pmarccos (a)

. Les solutions générales s'obtiennent en ajoutant

2 k π

(k ∈ ℤ).

Question probable

Comment résoudre l'équation sin(x) = 1/2 sur [0 ;

2 π]

Mnémotechnique

sin x = a → x = arcsin(a) +

2 k π

ou x =

π

− arcsin(a) +

2 k π

. cos x = a → x =

\pmarccos (a)

2 k π

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