Résoudre 2x² − 5x + 2 = 0.

a = 2, b = −5, c = 2. Δ = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9 > 0. √Δ = 3. x₁ = (5 − 3)/4 = 1/2 et x₂ = (5 + 3)/4 = 2. Vérification des relations de Viète : x₁ + x₂ = 1/2 + 2 = 5/2 = −(−5)/2 ✓ ; x₁ × x₂ = 1/2 × 2 = 1 = 2/2 ✓. Les relations de Viète (x₁+x₂ = −b/a et x₁×x₂ = c/a) permettent de vérifier rapidement les solutions.

Comment résoudre l'inéquation 2x² − 5x + 2 ≤ 0 ?

2x² − 5x + 2 = 2(x − 1/2)(x − 2). a = 2 > 0, racines x₁ = 1/2 et x₂ = 2. Tableau de signes : pour x 0 ; pour 1/2 2, f(x) > 0. Donc 2x² − 5x + 2 ≤ 0 pour x ∈ [1/2 ; 2]. Règle générale : si a > 0 et Δ > 0, le trinôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. Si a < 0, c'est l'inverse.

Comment trouver le sommet d'une parabole y = ax² + bx + c ?

Le sommet de la parabole a pour abscisse α = −b/(2a) et pour ordonnée β = f(α) = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Pour y = 2x² − 5x + 2 : α = 5/4, β = 2(25/16) − 5(5/4) + 2 = 25/8 − 25/4 + 2 = 25/8 − 50/8 + 16/8 = −9/8. Minimum de −9/8 en x = 5/4. On peut aussi écrire la forme canonique : y = a(x − α)² + β (forme facile à étudier).

Mathématiques

Fiche de révision :
Le Discriminant

Q: Comment calculer le discriminant et interpréter son signe ?

Le discriminant Δ = b² − 4ac permet de déterminer le nombre de solutions réelles de ax² + bx + c = 0. Si Δ > 0 : deux solutions x₁ = (−b − √Δ)/2a et x₂ = (−b + √Δ)/2a. Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/(2a). Si Δ < 0 : aucune solution réelle. En Terminale, dans le cas Δ < 0, les solutions complexes sont z = (−b ± i√|Δ|)/(2a). Toujours vérifier les solutions en les substituant dans l'équation.

Q: Comment factoriser un trinôme du second degré ?

Pour factoriser 2x² − 5x + 2 = 2(x − 1/2)(x − 2). On peut simplifier : 2(x − 1/2)(x − 2) = (2x − 1)(x − 2). Vérification : (2x−1)(x−2) = 2x² − 4x − x + 2 = 2x² − 5x + 2 ✓. La factorisation est utile pour résoudre des inéquations (étudier le signe de ax² + bx + c) et pour simplifier des fractions. Si Δ < 0, le trinôme garde un signe constant (même signe que a) sur ℝ.

Q: Comment trouver le sommet d'une parabole y = ax² + bx + c ?

Le sommet de la parabole a pour abscisse α = −b/(2a) et pour ordonnée β = f(α) = c − b²/(4a) = −Δ/(4a). Pour y = 2x² − 5x + 2 : α = 5/4, β = 2(25/16) − 5(5/4) + 2 = 25/8 − 25/4 + 2 = 25/8 − 50/8 + 16/8 = −9/8. Minimum de −9/8 en x = 5/4. On peut aussi écrire la forme canonique : y = a(x − α)² + β (forme facile à étudier).

Le discriminant est la notion clé pour résoudre les équations du second degré ax² + bx + c = 0. Maîtriser le calcul du discriminant, l'interprétation des solutions et la factorisation du trinôme est indispensable au bac de Maths.

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Essayer

MAT

Définition du discriminant

Définition

Pour l'équation

a x^{2}

+ bx + c = 0 (a

\neq =

0), le discriminant est

Δ

b^{2}

− 4ac. Si

Δ

> 0 : deux racines réelles distinctes. Si

Δ

= 0 : une racine double. Si

Δ

< 0 : pas de racine réelle (deux racines complexes conjuguées).

Question probable

Comment calculer le discriminant et interpréter son signe ?

Mnémotechnique

Δ

b^{2}

− 4ac.

Δ

> 0 → 2 racines.

Δ

= 0 → 1 racine double.

Δ

< 0 → 0 racine réelle. Formule : x = (−b

\pm

Δ)

/ 2a.

1 / 5

MAT

Calcul des racines

Définition

Δ

> 0 : x₁ = (−b −

Δ) / (2 a)

et x₂ = (−b +

Δ) / (2 a)

. Si

Δ

= 0 : x₀ = −b/(2a). Propriétés des racines : somme x₁ + x₂ = −b/a, produit x₁

\times

x₂ = c/a (relations de Viète).

Question probable

Résoudre

2 x^{2}

− 5x + 2 = 0.

Mnémotechnique

x = (−b

\pm

Δ)

/ 2a. Viète : x₁+x₂ = −b/a et

x_{1} \timesx_{2}

= c/a. Utile pour vérifier ou trouver des racines sans calcul.

2 / 5

MAT

Factorisation du trinôme

Définition

a x^{2}

+ bx + c a deux racines x₁ et x₂, alors

a x^{2}

+ bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Si une racine double x₀ :

a x^{2}

+ bx + c = a(x −

x_{0})^{2}

. Si

Δ

< 0 : le trinôme ne se factorise pas sur ℝ.

Question probable

Comment factoriser un trinôme du second degré ?

Mnémotechnique

Factorisation : a(x−x₁)(x−x₂) si

Δ

> 0.

a (x - x_{0})^{2}

Δ

= 0. Pas de factorisation sur ℝ si

Δ

< 0. Signe constant si

Δ

< 0.

3 / 5

MAT

Signe du trinôme du second degré

Définition

Pour f(x) =

a x^{2}

+ bx + c : si

Δ

> 0, f(x) est du signe de a en dehors des racines, et du signe opposé entre les racines. Si

Δ

\leq

0, f(x) est du signe de a sur tout ℝ (ou nul en x₀ si

Δ

= 0).

Question probable

Comment résoudre l'inéquation

2 x^{2}

− 5x + 2

\leq

0 ?

Mnémotechnique

Trinôme a > 0 : négatif ENTRE les racines, positif à l'extérieur. Tableau de signes : (+) − (−) − (+) pour a > 0 et deux racines.

4 / 5

MAT

Applications : extremum et axe de symétrie

Définition

La parabole y =

a x^{2}

+ bx + c a son sommet en x = −b/(2a) (axe de symétrie). Si a > 0, le sommet est un minimum ; si a < 0, c'est un maximum. La valeur minimale (ou maximale) est f(−b/2a) =

- Δ/ (4 a)

Question probable

Comment trouver le sommet d'une parabole y =

a x^{2}

+ bx + c ?

Mnémotechnique

Sommet : x = −b/(2a). Min si a > 0, Max si a < 0. Forme canonique :

a (x - α)^{2}

β

. y_min =

- Δ/ (4 a)

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