Mathématiques
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Fiche de révision :
Le Logarithme Népérien

Le logarithme népérien est une fonction fondamentale de Maths Terminale, liée à la fonction exponentielle. Il est indispensable pour résoudre des équations et étudier des variations. Voici 5 fiches pour maîtriser cette notion.

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MAT
Définition du logarithme
Définition
La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0 ; . C'est la réciproque de la fonction exponentielle : ln(x) = y ⟺ eʸ = x. On a ln(e) = 1 et ln(1) = 0. ln est strictement croissante sur ]0 ; .
Question probable
Comment définir la fonction ln et quelle est sa relation avec l'exponentielle ?
Réponse
→ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre : ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ, et e^(ln x) = x pour tout x > 0. La courbe de ln est le symétrique de celle de eˣ par rapport à la droite y = x. ln est définie uniquement sur ]0 ; , continue et strictement croissante. ln(1) = 0, ln(e) = 1, = 2. La dérivée de ln est ln'(x) = 1/x > 0, ce qui confirme la croissance.
Mnémotechnique
ln = inverse de exp. ln(eˣ) = x. e^(ln x) = x. ln(1) = 0. ln(e) = 1.
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MAT
Propriétés algébriques du ln
Définition
Pour a, b > 0 et n entier : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n ln(a) ; ln(1/a) = −ln(a) ; = (1/2) ln(a). Ces propriétés permettent de transformer des produits en sommes.
Question probable
Comment utiliser les propriétés du logarithme pour simplifier une expression ?
Réponse
→Exemple : = ln(e^(3/2)) = 3/2. Exemple : ln(8) = = 3 ln(2). Exemple : ln(6) = = ln(2) + ln(3). Ces propriétés sont utiles pour résoudre des inéquations : si ln(f(x)) > ln(g(x)) et f(x), g(x) > 0, alors f(x) > g(x) car ln est croissante. Attention : ln(a + b) ln(a) + ln(b).
Mnémotechnique
ln(ab) = ln a + ln b. ln(a/b) = ln a − ln b. ln(aⁿ) = n ln a. Produit → somme, puissance → facteur.
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MAT
Dérivée de ln(x) et ln(u)
Définition
La dérivée de ln(x) est 1/x pour x > 0. Par composition : si u est une fonction dérivable et strictement positive, (ln(u))' = u'/u. Forme à reconnaître : u'/u est la dérivée de ln(u).
Question probable
Comment dériver des expressions contenant le logarithme ?
Réponse
→Exemples : = ; (ln(sin x))' = cos x / sin x = 1/tan x (pour sin x > 0) ; (x ln x)' = ln x + x (1/x) = ln x + 1 (règle du produit). Reconnaître la forme u'/u pour calculer dx = ln|u| + C. Exemple : dx = (1/2) + C car la dérivée de est 2x.
Mnémotechnique
(ln u)' = u'/u. Reconnaître u'/u dans une intégrale → primitive = ln|u|.
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MAT
Limites du logarithme
Définition
ln(x) = ; lim[x→0⁺] ln(x) = . Croissances comparées : ln(x)/xⁿ = 0 (pour tout n > 0) et lim[x→0⁺] x ln(x) = 0. Le logarithme croît moins vite que toute puissance de x.
Question probable
Comment calculer ln(x)/x ?
Réponse
→ ln(x)/x = 0 (croissances comparées : ln est négligeable devant x). Plus généralement, ln(x)/xⁿ = 0 pour tout n > 0. De même lim[x→0⁺] ln(x) = 0 pour tout > 0. Ces résultats s'obtiennent par le changement de variable t = ln(x), ou en appliquant les théorèmes de croissances comparées directement. À retenir : l'exponentielle "l'emporte" sur le logarithme.
Mnémotechnique
ln(x)/x → 0 quand x → . x ln(x) → 0 quand x → 0⁺. Croissances comparées : exp > puissance > ln.
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MAT
Résolution d'équations avec ln
Définition
Pour résoudre ln(f(x)) = ln(g(x)), on conclut f(x) = g(x) (avec f(x) > 0 et g(x) > 0). Pour ln(f(x)) = k, on conclut f(x) = eᵏ. Le logarithme est un outil clé pour résoudre les équations exponentielles.
Question probable
Comment résoudre l'équation e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0 ?
Réponse
→On pose X = eˣ (X > 0) : − 3X + 2 = 0, soit (X−1)(X−2) = 0, donc X = 1 ou X = 2. Si eˣ = 1 alors x = 0 ; si eˣ = 2 alors x = ln(2). Solutions : x = 0 ou x = ln(2). Pour résoudre ln(x+1) = 2 : x+1 = > 0, donc x = − 1. Pour résoudre ln(x) + ln(x−1) = ln(2) : ln(x(x−1)) = ln(2), soit x(x−1) = 2, = 0, solutions x = 2 (et x = −1 rejeté car x > 1).
Mnémotechnique
ln(A) = ln(B) ⟺ A = B (avec A,B > 0). ln(A) = k ⟺ A = eᵏ. Résoudre exp avec un changement X = eˣ.
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