Fiche de révision :
Les Nombres Complexes

Q: Comment calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe ?

Pour z = 3 + 4i : |z| = √(9+16) = √25 = 5 ; z̄ = 3 − 4i. Propriétés : z × z̄ = a² + b² = |z|² ; |z₁z₂| = |z₁||z₂| ; z + z̄ = 2a (réel) ; z − z̄ = 2bi (imaginaire pur). Pour diviser : z₁/z₂ = z₁ × z̄₂ / |z₂|². Exemple : 1/(1+i) = (1−i)/((1+i)(1−i)) = (1−i)/2.

Q: Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

Pour z = 1 + i : r = √(1+1) = √2 ; cos θ = 1/√2 et sin θ = 1/√2, donc θ = π/4. Forme exponentielle : z = √2 × e^(iπ/4). Pour z = −√3 + i : r = 2 ; cos θ = −√3/2 et sin θ = 1/2, donc θ = 5π/6. Forme exponentielle : z = 2e^(i5π/6). Propriété clé : z₁ × z₂ = r₁r₂ e^(i(θ₁+θ₂)) (formule de Moivre).

Q: Comment utiliser la formule d'Euler pour linéariser cos³θ ?

On exprime cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i). Alors cos³θ = ((e^(iθ) + e^(−iθ))/2)³ = (e^(3iθ) + 3e^(iθ) + 3e^(−iθ) + e^(−3iθ))/8 = (cos 3θ + 3 cos θ)/4. Ces formules sont indispensables pour linéariser des expressions trigonométriques et calculer des intégrales de type ∫cos³x dx.

Q: Comment calculer les racines carrées de z = 3 + 4i ?

|z| = 5. Système : x² − y² = 3, 2xy = 4, x²+y² = 5. Alors 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2. Si x = 2, y = 1 ; si x = −2, y = −1. Racines : w₁ = 2+i et w₂ = −2−i = −w₁. Vérification : (2+i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i − 1 = 3 + 4i ✓. Cette méthode s'applique à tout équation du second degré de discriminant complexe.

Q: Comment utiliser les complexes pour résoudre un problème de géométrie ?

Le lieu des points z tel que |z − z₀| = r est le cercle de centre z₀ et de rayon r. |z − 1| = |z + i| : ensemble des points équidistants de A(1,0) et B(0,−1), c'est la médiatrice du segment AB. La rotation de centre 0 et d'angle θ est la multiplication par e^(iθ). La transformation z ↦ 2z + 3 est une homothétie+translation. Les complexes transforment les problèmes géométriques en calculs algébriques.

Les nombres complexes sont une notion de Maths Terminale qui prolonge les réels en introduisant i tel que i² = −1. Ils permettent de résoudre des équations sans solution réelle et ont des applications en géométrie. Voici 5 fiches essentielles.

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Essayer

MAT

Forme algébrique z = a + ib

Définition

Un nombre complexe z s'écrit z = a + ib avec a, b ∈ ℝ et

i^{2}

= −1. a = Re(z) est la partie réelle, b = Im(z) est la partie imaginaire. Le module est |z| =

(a^{2}

b^{2})

. Le conjugué est z̄ = a − ib.

Question probable

Comment calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe ?

Mnémotechnique

z = a + ib. |z| =

(a^{2} + b^{2})

. z̄ = a − ib. z

\times

z̄ =

∣ z ∣^{2}

. Division : multiplier par le conjugué du dénominateur.

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MAT

Forme trigonométrique et exponentielle

Définition

Tout complexe z

\neq =

0 s'écrit z = r(cos

θ

+ i sin

θ)

= r

e^{(} i θ)

, avec r = |z| (module) et

θ

= arg(z) (argument).

θ

est défini modulo

2 π

. La multiplication multiplie les modules et additionne les arguments.

Question probable

Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

Mnémotechnique

z =

r e^{(} i θ)

avec r = |z| et

θ

= arg(z). Multiplication : r₁r₂ et

θ_{1} + θ_{2}

. Division : r₁/r₂ et

θ_{1} - θ_{2}

2 / 5

MAT

Formule d'Euler

Définition

La formule d'Euler :

e^{(} i θ)

= cos

θ

+ i sin

θ

. Cas particulier :

e^{(} iπ)

+ 1 = 0 (identité d'Euler). La formule de Moivre : (cos

θ

+ i sin

θ)^{n}

cos (n θ)

+ i

s in (n θ)

. Elle permet de calculer

cos (n θ)

s in (n θ)

en fonction de cos

θ

et sin

θ

Question probable

Comment utiliser la formule d'Euler pour linéariser

co s^{3} θ

Mnémotechnique

e^{(} i θ)

= cos

θ

+ i sin

θ

. cos

θ

(e^{(} i θ)

e^{(} - i θ)) /2

. sin

θ

(e^{(} i θ)

−

e^{(} - i θ)) / (2 i)

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MAT

Racines carrées d'un complexe

Définition

Les racines carrées de z = a + ib sont les solutions de

w^{2}

= z. On pose w = x + iy et on résout le système :

x^{2}

−

y^{2}

= a, 2xy = b,

x^{2}

y^{2}

= |z|. On en déduit

x^{2}

= (|z|+a)/2 et

y^{2}

= (|z|−a)/2.

Question probable

Comment calculer les racines carrées de z = 3 + 4i ?

Mnémotechnique

Racines de z : poser w = x+iy, système

{x^2−y^2=Re(z)

, 2xy=Im(z),

x^2+y^2=|z|}

. Les deux racines sont

\pmw_{1}

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MAT

Interprétation géométrique

Définition

À chaque complexe z = a + ib on associe le point M(a, b) du plan (plan complexe) ou le vecteur OM. Le module |z| est la distance OM. L'argument est l'angle (Ox, OM). La distance |z₁ − z₂| est la distance entre les points M₁ et M₂.

Question probable

Comment utiliser les complexes pour résoudre un problème de géométrie ?

Mnémotechnique

z → point M(a,b). |z − z₀| = r → cercle. Multiplication par

e^{(} i θ)

= rotation d'angle

θ

. Distance = |z₁ − z₂|.

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