Comment comparer les vitesses de croissance de ln x, √x et eˣ ?

Hiérarchie : ln x ≪ √x ≪ x ≪ x² ≪ eˣ quand x → +∞. Concrètement : ln(10⁶) = 6 ln 10 ≈ 13,8 ; √(10⁶) = 1000 ; 10⁶ = 1 000 000 ; e^(10⁶) ≈ un nombre astronomique. Pour lever des formes indéterminées : lim[x→+∞] ln x/x = 0 ; lim[x→+∞] xⁿ/eˣ = 0 ; lim[x→0⁺] x ln x = 0. Méthode : identifier la fonction qui "domine" et factoriser par elle pour lever la forme indéterminée.

Mathématiques

Fiche de révision :
Les Fonctions de Référence

Q: Dresser le tableau de variations de f(x) = ln(x) et décrire sa courbe.

f(x) = ln(x), définie sur ]0;+∞[. f'(x) = 1/x > 0 pour tout x > 0 : f est strictement croissante. Tableau : x | 0⁺ ... +∞ ; f'(x) | + ; f(x) | −∞ ↗ +∞. La courbe : passe par (1,0) et (e,1), concave (f''(x) = −1/x² < 0), asymptote verticale en x = 0 (la courbe "monte" vers −∞ quand x → 0⁺). La croissance est de plus en plus lente : ln x/x → 0 quand x → +∞ (logarithme dominé par toute puissance de x).

Q: Pourquoi dit-on que la fonction exponentielle est sa propre dérivée ?

(eˣ)' = eˣ : la dérivée de eˣ est eˣ elle-même. C'est l'unique fonction (à constante multiplicative près) qui vérifie f' = f. Conséquences : eˣ est toujours positive (jamais nulle) et strictement croissante sur ℝ. Elle n'a pas d'asymptote verticale, mais une asymptote horizontale en y = 0 quand x → −∞. Tableau de variations : f' = eˣ > 0 toujours → croissante sur ℝ. Croissance très rapide : eˣ/xⁿ → +∞ pour tout n (l'exponentielle domine tout polynôme).

Q: Quelles sont les propriétés de la fonction f(x) = 1/x ?

f(x) = 1/x est définie sur ℝ{0}. f'(x) = −1/x² < 0 toujours : f est décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[. Limites : lim[x→0⁺] 1/x = +∞ ; lim[x→0⁻] 1/x = −∞ ; lim[x→±∞] 1/x = 0. Deux asymptotes : y = 0 (horizontale) et x = 0 (verticale). La courbe est une hyperbole. Impaire : f(−x) = −f(x). Tableau : décroissante sur chaque demi-droite, pas de maximum ni minimum global.

Q: Comment dériver une expression contenant une racine carrée ?

(√x)' = 1/(2√x). Par composition : (√u)' = u'/(2√u). Exemples : (√(x²+1))' = 2x/(2√(x²+1)) = x/√(x²+1) ; (√(sin x))' = cos x/(2√(sin x)). Tableau de variations de √x : définie sur [0;+∞[, strictement croissante (f'>0 pour x>0), f(0) = 0. La courbe est la "moitié supérieure" de la parabole x = y². Vitesse de croissance : √x croît moins vite que x mais plus vite que ln x.

Les fonctions de référence sont la boîte à outils fondamentale de l'analyse en Maths Terminale. ln(x), exp(x), x^n, 1/x et √x sont à connaître par cœur : définition, dérivée, limites et tableau de variations.

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Essayer

MAT

La fonction ln(x)

Définition

Domaine : ]0 ;

+ \infty [

. Dérivée : (ln x)' = 1/x. Limites :

l im [x \to + \infty]

ln x =

+ \infty

; lim[x→0⁺] ln x =

- \infty

. Croissante sur ]0;

+ \infty [

. Points remarquables : ln(1) = 0, ln(e) = 1. Asymptote verticale en x = 0.

Question probable

Dresser le tableau de variations de f(x) = ln(x) et décrire sa courbe.

Mnémotechnique

ln : ]0;

+ \infty [

, croissante, (ln x)' = 1/x. ln(1)=0, ln(e)=1. Asymptote en x=0. Croît vers

+ \infty

mais très lentement.

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MAT

La fonction exp(x)

Définition

Domaine : ℝ. Dérivée : (eˣ)' = eˣ. Limites :

l im [x \to + \infty]

eˣ =

+ \infty

;

l im [x \to - \infty]

eˣ = 0 (asymptote y = 0). Strictement croissante sur ℝ. Points remarquables :

e^{0}

= 1,

e^{1}

= e

\approx

2,718. Toujours positive.

Question probable

Pourquoi dit-on que la fonction exponentielle est sa propre dérivée ?

Mnémotechnique

exp : ℝ, croissante, (eˣ)'=eˣ.

e^{0} = 1

. Asymptote y=0 en

- \infty

. Positive partout. Domine tout polynôme.

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MAT

La fonction puissance x^n et 1/x

Définition

f(x) = xⁿ (n entier > 0) : dérivée

nxⁿ⁻^1

. f(x) =

x⁻^1

= 1/x : dérivée

- 1/ x^{2}

\neq =

0). f(x) = xᵅ

(α

∈ ℝ, x > 0) : dérivée

\alphaxᵅ⁻^1

. Domaine de 1/x : ℝ{0}. Asymptotes : x = 0 (verticale) et y = 0 (horizontale).

Question probable

Quelles sont les propriétés de la fonction f(x) = 1/x ?

Mnémotechnique

1/x : dérivée =

- 1/ x^{2}

. Décroissante sur

] - \infty

;0[ et ]0;

+ \infty [

. Deux asymptotes (x=0 et y=0). Hyperbole. Impaire.

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MAT

La fonction

\sqrtx

Définition

f(x) =

\sqrtx

définie sur [0 ;

+ \infty [

. Dérivée : f'(x) =

1/ (2 \sqrtx)

pour x > 0. Limites : f(0) = 0,

l im [x \to + \infty]

\sqrtx

+ \infty

. Croissante. Plus généralement,

(\sqrtu)^{'}

u^{'} / (2 \sqrtu)

Question probable

Comment dériver une expression contenant une racine carrée ?

Mnémotechnique

\sqrtx

: [0;

+ \infty [

(\sqrtx)^{'} = 1/ (2 \sqrtx)

(\sqrtu)^{'} = u^{'} / (2 \sqrtu)

. Croissante. Courbe : demi-parabole. Plus lente que x, plus rapide que ln x.

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MAT

Tableaux de variations et courbes : synthèse

Définition

Connaître la forme des courbes des fonctions de référence permet de les reconnaître, de les comparer et de tracer des courbes dérivées. La hiérarchie des croissances : ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ quand x →

+ \infty

(pour

α

> 0).

Question probable

Comment comparer les vitesses de croissance de ln x,

\sqrtx

et eˣ ?

Mnémotechnique

Hiérarchie : ln ≪ puissance ≪ exp. ln x/x → 0. xⁿ/eˣ → 0. x ln x → 0 (x→0⁺). Factoriser par le terme dominant pour lever les formes indéterminées.

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