Les limites de fonctions sont une notion centrale de l'analyse en Maths Terminale. Calculer des limites, lever des formes indéterminées et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sont des compétences incontournables au bac.
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lim[x→a] f(x) = ℓ signifie que f(x) se rapproche de ℓ quand x se rapproche de a. Limites de référence : lim[x→+∞] xⁿ = +∞ ; lim[x→+∞] eˣ = +∞ ; lim[x→−∞] eˣ = 0 ; lim[x→+∞] ln x = +∞ ; lim[x→0⁺] ln x = −∞.
Question probable
Quelles sont les limites de référence à connaître au bac ?
Réponse
→Limites fondamentales : (1) Polynômes : lim[x→±∞] = ±∞ selon le degré et le signe du coefficient dominant. (2) Exponentielle : eˣ → +∞ quand x→+∞ ; eˣ → 0 quand x→−∞. (3) Logarithme : ln x → +∞ quand x→+∞ ; ln x → −∞ quand x→0⁺. (4) Fonctions trigonométriques : pas de limite à l'infini (oscillent). (5) Fractions rationnelles : lim = limite du quotient des termes dominants. Ces résultats sont à connaître par cœur et constituent la base du calcul de limites.
Mnémotechnique
Poly : terme dominant. Exp : ex→+∞, e⁻ˣ→0. ln : →+∞ en +∞, →−∞ en 0⁺. Sin/cos : pas de limite en ±∞ (bornées mais oscillent).
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MAT
Règles opératoires
Définition
Si lim f = ℓ et lim g = m (avec ℓ, m ∈ ℝ) : lim(f+g) = ℓ+m, lim(fg) = ℓm, lim(f/g) = ℓ/m (si m=0), lim(\lambdaf) = λℓ. Cas particuliers : ∞ + ∞ = +∞ ; ∞×∞ = +∞ ; ∞ − ∞ = FI ; ∞/∞ = FI ; 0 ×∞ = FI.
Question probable
Comment calculer lim[x→+∞](3x2 + x − 1) ?
Réponse
→Pour un polynôme, on factorise par le terme de plus haut degré : 3x2 + x − 1 = x2(3 + 1/x − 1/x2). Comme lim[x→+∞] 1/x = 0 et lim[x→+∞]1/x2 = 0, on a lim(3 + 1/x − 1/x2) = 3. Et lim x2 = +∞. Donc lim(3x2 + x − 1) = 3 ×+∞ = +∞. Pour une fraction rationnelle P(x)/Q(x), on divise numérateur et dénominateur par le terme dominant de Q(x). Règle pratique : ne garder que les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Mnémotechnique
Poly à l'infini = terme dominant. Fraction rationnelle : diviser par terme dominant du dénominateur. FI = ∞−∞, ∞/∞, 0×∞. Lever les FI !
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MAT
Formes indéterminées
Définition
Les formes indéterminées (FI) sont : ∞ − ∞, ∞/∞, 0/0, 0 ×∞. Elles nécessitent des techniques spéciales : factoriser, conjuguer, utiliser les croissances comparées, faire un changement de variable.
Question probable
Comment lever la forme indéterminée ∞/∞ pour lim[x→+∞] (x+1)/(2x−3) ?
Réponse
→Méthode 1 : diviser par x. (x+1)/(2x−3) = (1 + 1/x)/(2 − 3/x). Quand x → +∞ : 1/x → 0, donc limite = 1/2. Méthode 2 : garder les termes dominants : x/(2x) = 1/2. Pour lever 0/0 : factoriser, utiliser les identités remarquables, ou la règle de L'Hôpital (si dérivées connues). Exemple 0/0 : lim[x→1] (x2−1)/(x−1) = lim (x+1)(x−1)/(x−1) = lim (x+1) = 2. Pour ∞ − ∞ : factoriser par le terme dominant.
Mnémotechnique
FI ∞/∞ : diviser par terme dominant. FI 0/0 : factoriser. FI ∞−∞ : factoriser par terme dominant. FI 0×∞ : écrire comme quotient (0/(1/∞) ou ∞/(1/0)).
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MAT
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Définition
f est continue en a si lim[x→a] f(x) = f(a). Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a,b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
Question probable
Comment utiliser le TVI pour montrer qu'une équation a une solution ?
Réponse
→Exemple : montrer que x3 − 2x + 1 = 0 a une solution dans [0,1]. Poser f(x) = x3 − 2x + 1. f(0) = 1 > 0. f(1) = 1 − 2 + 1 = 0. Ici f(1) = 0 donc x = 1 est solution. Pour un exemple non trivial : f(0) = 1 > 0 et f(2) = 8 − 4 + 1 = 5 > 0 — pas concluant. f(−2) = −8 + 4 + 1 = −3 < 0. Comme f(−2) < 0 < f(0) et f continue sur [−2,0], le TVI garantit l'existence d'un c ∈ [−2,0] tel que f(c) = 0. Unicité : si f est strictement monotone sur [a,b], la solution est unique.
Mnémotechnique
TVI : f continue sur [a,b], f(a) et f(b) de signes opposés → ∃ c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0. Continuité = condition indispensable. Unicité : f strictement monotone.
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MAT
Asymptotes et comportement à l'infini
Définition
Asymptote horizontale : lim[x→±∞] f(x) = ℓ → droite y = ℓ. Asymptote verticale en a : lim[x→a] |f(x)| = +∞ → droite x = a. Asymptote oblique : lim[x→±∞] (f(x) − (ax+b)) = 0 → droite y = ax+b.
Question probable
Comment trouver les asymptotes de f(x) = (2x+1)/(x−1) ?
Réponse
→Asymptote verticale : x = 1 car f n'est pas définie en 1 et lim[x→1] |f(x)| = +∞ (vérifier : f(x) → +∞ ou −∞ selon le côté). Asymptote horizontale : lim[x→±∞] (2x+1)/(x−1) = 2 (diviser par x : (2+1/x)/(1−1/x) → 2/1 = 2). Donc y = 2 est asymptote horizontale. Méthode alternative : division euclidienne. (2x+1) = 2(x−1) + 3, donc f(x) = 2 + 3/(x−1). Quand x → ±∞, 3/(x−1) → 0, donc f(x) → 2 ✓.