Mathématiques
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Fiche de révision :
Les Matrices

Les matrices sont une notion de Maths Terminale (selon les spécialités) qui généralise les opérations sur les nombres. Elles permettent de résoudre des systèmes linéaires et modélisent de nombreuses situations. Voici 5 fiches essentielles.

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MAT
Définition et opérations sur les matrices
Définition
Une matrice de type (m, n) est un tableau rectangulaire de m lignes et n colonnes. Addition : terme à terme (matrices de même taille). Multiplication par un scalaire : multiplier chaque terme par . La matrice nulle O a tous ses termes nuls. La matrice identité I est carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Question probable
Comment additionner deux matrices et multiplier une matrice par un scalaire ?
Réponse
→Addition : (A+B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ (même type). Exemple : [[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]]. Multiplication scalaire : = Aᵢⱼ. Exemple : 2 [[1,2],[3,4]] = [[2,4],[6,8]]. Propriétés : A + B = B + A (commutativité de l'addition) ; = + (distributivité). La transposée ᵗA s'obtient en échangeant lignes et colonnes : ᵗ([[1,2],[3,4]]) = [[1,3],[2,4]].
Mnémotechnique
Addition matricielle = terme à terme. Multiplication scalaire = multiplier chaque entrée. Matrices de même taille pour additionner.
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MAT
Produit matriciel
Définition
Le produit AB est défini si A est de type (m,n) et B de type (n,p). Le résultat est de type (m,p). (AB)ᵢⱼ = somme sur k de Aᵢₖ Bₖⱼ (ligne de A colonne de B). Le produit matriciel n'est en général pas commutatif : AB BA.
Question probable
Comment calculer un produit de matrices ?
Réponse
→Pour A = [[a,b],[c,d]] et B = [[e,f],[g,h]] : AB = [[ae+bg, af+bh],[ce+dg, cf+dh]]. Exemple : A = [[1,2],[3,4]] et B = [[5,6],[7,8]] : AB = , ,, = [[19,22],[43,50]]. BA = , ,, = [[23,34],[31,46]] AB. Règle : "ligne de A colonne de B".
Mnémotechnique
Produit : ligne par colonne. (AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ. AB BA en général. Vérifier la compatibilité des tailles : → .
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MAT
Déterminant d'une matrice
Définition
Pour A = [[a,b],[c,d]], le déterminant est det(A) = ad − bc. Si det(A) 0, A est inversible. Si det(A) = 0, A est non inversible (singulière). Le déterminant sert aussi à calculer des aires et à résoudre des systèmes.
Question probable
Comment calculer le déterminant d'une matrice et en déduire si elle est inversible ?
Réponse
→Pour A = [[3,2],[1,4]] : det(A) = − = 12 − 2 = 10 0 → A est inversible. Pour A = [[2,4],[1,2]] : det(A) = − = 4 − 4 = 0 → A n'est pas inversible. Interprétation géométrique : |det(A)| est l'aire du parallélogramme formé par les colonnes (vecteurs) de A. Le déterminant d'un produit : det(AB) = det(A) det(B).
Mnémotechnique
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Diagonale principale moins diagonale secondaire. det 0 ↔ matrice inversible.
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MAT
Matrice inverse
Définition
La matrice inverse A⁻^1 vérifie AA⁻^1 = A⁻^1A = I. Pour A = [[a,b],[c,d]] avec det(A) 0 : A⁻^1 = (1/det(A)) [[d,−b],[−c,a]]. Si det(A) = 0, l'inverse n'existe pas.
Question probable
Comment calculer l'inverse d'une matrice ?
Réponse
→Pour A = [[3,2],[1,4]] : det(A) = 10. A⁻^1 = (1/10) [[4,−2],[−1,3]] = [[0.4,−0.2],[−0.1,0.3]]. Vérification : A A⁻^1 = [[3,2],[1,4]] [[0.4,−0.2],[−0.1,0.3]] = ..1), ...]] = [[1,0],[0,1]] = I ✓. Propriétés : (AB)⁻^1 = B⁻^1A⁻^1 (inversion et renversement de l'ordre) ; (A⁻^1)⁻^1 = A.
Mnémotechnique
A⁻^1 = (1/det(A)) [[d,−b],[−c,a]]. Échanger la diagonale, changer les signes de la codiagonale, diviser par le déterminant.
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MAT
Résolution de systèmes linéaires
Définition
Un système AX = B (A matrice des coefficients, X vecteur des inconnues, B vecteur des termes constants) a pour solution unique X = A⁻^1B si det(A) 0. Si det(A) = 0, le système n'a soit aucune solution, soit une infinité.
Question probable
Comment résoudre le système 3x + 2y = 7 et x + 4y = 9 par la méthode matricielle ?
Réponse
→Le système s'écrit AX = B avec A = [[3,2],[1,4]], X = [[x],[y]], B = [[7],[9]]. det(A) = 10 0, donc A⁻^1 = (1/10)[[4,−2],[−1,3]]. X = A⁻^1B = (1/10)[[4,−2],[−1,3]][[7],[9]] = , = (1/10)[[28−18],[−7+27]] = (1/10)[[10],[20]] = [[1],[2]]. Solution : x = 1, y = 2.
Mnémotechnique
AX = B → X = A⁻^1B (si det(A) 0). Méthode : calculer A⁻^1, puis multiplier à gauche par A⁻^1.
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