Les nombres complexes permettent de résoudre des équations sans solution réelle et sont un outil puissant en géométrie. Forme algébrique, module, argument et forme exponentielle sont au programme du bac de Maths Terminale.
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Un nombre complexe z s'écrit z = a + ib avec a, b ∈ ℝ et i2 = −1. a = Re(z) (partie réelle), b = Im(z) (partie imaginaire). Le module est |z| = (a2 + b2). Le conjugué est z̄ = a − ib. On a z × z̄ = ∣z∣2.
Question probable
Comment effectuer des opérations avec des nombres complexes en forme algébrique ?
Réponse
→Addition : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d). Multiplication : (a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac−bd) + i(ad+bc). Division : z₁/z₂ = z₁ ×zˉ2/∣z2∣2. Exemple : (1+2i)/(1+i) = (1+2i)(1−i)/((1+i)(1−i)) = (1−i+2i−2i2)/(1+1) = (1+i+2)/(2) = (3+i)/2 = 3/2 + i/2. La division se fait toujours en multipliant par le conjugué du dénominateur.
Mnémotechnique
z = a+ib. |z| = (a2+b2). z̄ = a−ib. z\timesz̄ = ∣z∣2. Division : multiplier numérateur et dénominateur par z̄₂.
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MAT
Module et argument
Définition
Le module |z| = (a2+b2) est la distance de z à l'origine dans le plan complexe. L'argument arg(z) = θ est l'angle (Ox, OM) où M est le point d'affixe z. On a cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|. θ est défini modulo 2π.
Question probable
Comment calculer le module et l'argument de z = −1 + i ?
Réponse
→z = −1 + i. |z| = (1+1) = 2. cos θ = −1/2 et sin θ = 1/2. Donc θ = 3π/4 (dans le deuxième quadrant : cos < 0, sin > 0). Forme trigonométrique : z = 2×(cos(3π/4) + i sin(3π/4)) = 2e(i3π/4). Propriétés : |z₁z₂| = |z₁||z₂| (les modules se multiplient) ; arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) modulo 2π (les arguments s'additionnent). |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| ; arg(z₁/z₂) = arg(z₁) − arg(z₂).
Mnémotechnique
|z| = distance à l'origine. arg(z) = angle avec Ox. cos θ = Re(z)/|z|, sin θ = Im(z)/|z|. |z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁)+arg(z₂).
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MAT
Forme trigonométrique et exponentielle
Définition
z = r(cos θ + i sin θ) = re(iθ) avec r = |z| et θ = arg(z). La formule d'Euler : e(iθ) = cos θ + i sin θ. La formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) = e(inθ).
Question probable
Comment multiplier deux complexes en forme exponentielle ?
Réponse
→z₁ = r1e(iθ1) et z₂ = r2e(iθ2). Alors z₁z₂ = r₁r₂ e(i(θ1+θ2)) — on multiplie les modules et on additionne les arguments. z₁/z₂ = (r₁/r₂) e(i(θ1−θ2)). Exemple : z₁ = 2e(iπ/4) et z₂ = 3e(iπ/3). z₁z₂ = 6 e(i(π/4+π/3)) = 6 e(i7π/12). La forme exponentielle est idéale pour les puissances : zⁿ = rne(inθ). Application : (1+i)8 = (2e(iπ/4))8 = (2)8e(i2π) = 16 × 1 = 16.
Mnémotechnique
z = re(iθ). Multiplication : r₁r₂ et θ1+θ2. Puissance : rⁿ et nθ. Euler : e(iπ) + 1 = 0 (identité la plus belle des maths).
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MAT
Résolution d'équations avec les complexes
Définition
Toute équation du second degré az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ ℂ) a deux solutions dans ℂ. Si a, b, c ∈ ℝ et Δ < 0, les solutions complexes sont conjuguées : z₁,₂ = (−b ±i∣Δ∣)/(2a).
Question probable
Résoudre z2 + z + 1 = 0 dans ℂ.
Réponse
→Δ = 1 − 4 = −3 < 0. Pas de solution réelle. Solutions complexes : z = (−1 ±i3)/2. Vérification : z₁ = (−1+i3)/2 = e(i2π/3)(cos(2π/3) = −1/2, sin(2π/3) = 3/2) ✓. Note : les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e(i2π/3) et j2 = e(i4π/3) = j̄. Elles vérifient j3 = 1 et 1 + j + j2 = 0. Ces racines sont importantes dans les polynômes et la géométrie.
Mnémotechnique
Δ < 0 → z = (−b ±i∣Δ∣)/(2a). Solutions complexes conjuguées si coefficients réels. Racines unité : 1, j, j2 avec j = e(i2π/3).
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MAT
Complexes et géométrie
Définition
À chaque complexe z = a+ib correspond le point M(a,b) du plan. Le module |z₁−z₂| est la distance entre M₁ et M₂. La multiplication par e(iα) est une rotation d'angle α autour de l'origine. La transformation z ↦ az + b (a ∈ ℂ) est une similitude.
Question probable
Comment utiliser les complexes pour exprimer une rotation ?
Réponse
→La rotation de centre A (d'affixe zA) et d'angle α s'écrit : M' a pour affixe z' = e(iα)(z − zA) + zA. Exemple : rotation de centre O (origine) d'angle π/2 : z' = e(iπ/2) z = iz. Si z = a+ib, alors iz = i(a+ib) = ia + i2b = −b + ia — cela échange les coordonnées et change un signe, ce qui correspond bien à une rotation de 90°. La médiatrice de [AB] est l'ensemble des points M tels que |z − zA| = |z − zB| (distances égales).
Mnémotechnique
Complexe z → point M(a,b). Distance = |z₁−z₂|. Rotation d'angle α : z' = e(iα)(z−zA)+zA. Multiplication par i = rotation π/2.
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