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Fiche de révision :
Les Probabilités au Bac

Les probabilités sont un chapitre majeur du bac de Maths. Probabilités conditionnelles, loi binomiale, loi normale : voici 5 fiches pour maîtriser les notions essentielles et éviter les pièges fréquents au bac.

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MAT
Probabilité conditionnelle
Définition
La probabilité de A sachant B est P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (avec P(B) 0). Elle mesure la probabilité de A quand on sait que B est réalisé. Les événements A et B sont indépendants si P(A|B) = P(A), soit P(A ∩ B) = P(A) P(B).
Question probable
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Réponse
→Exemple : dans une classe, 60% des élèves ont révisé (R), et parmi eux 80% ont réussi (S). P(R) = 0,6 ; P(S|R) = 0,8. Donc P(R ∩ S) = P(R) P(S|R) = 0,6 0,8 = 0,48. Pour trouver P(S) (probabilité globale de réussir), on utilise la formule des probabilités totales. L'indépendance : P(A ∩ B) = P(A)P(B) signifie que la réalisation de B ne modifie pas la probabilité de A.
Mnémotechnique
P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Indépendance : P(A∩B) = . Produit = "sachant que" multiplié.
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MAT
Formule des probabilités totales et arbre
Définition
Si B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de l'espace (événements incompatibles et exhaustifs), alors P(A) = Σᵢ P(A|Bᵢ) P(Bᵢ). L'arbre de probabilité représente les événements et permet de lire les probabilités conditionnelles.
Question probable
Comment utiliser un arbre de probabilité pour calculer P(A) ?
Réponse
→Construction d'un arbre : les branches de premier niveau représentent les événements Bᵢ (portent P(Bᵢ)), les branches de second niveau représentent A ou Ā (portent P(A|Bᵢ)). P(A ∩ Bᵢ) = produit des probabilités le long de la branche. P(A) = somme des feuilles correspondant à A. Exemple : test médical — P(malade) = 0,01, P(test positif|malade) = 0,95, P(test positif|sain) = 0,05. P(positif) = 0,,95 + 0,,05 = 0,0095 + 0,0495 = 0,059.
Mnémotechnique
Arbre : branches = P(Bᵢ), feuilles = P(A|Bᵢ). Produit = P(A∩Bᵢ). P(A) = somme des feuilles favorables. Probabilités totales = somme des chemins.
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MAT
Formule de Bayes
Définition
La formule de Bayes permet de calculer P(Bᵢ|A) (probabilité "à rebours") : P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ) P(Bᵢ) / P(A). Elle est fondamentale pour les tests médicaux, le diagnostic et le raisonnement a posteriori.
Question probable
Comment calculer P(malade|test positif) avec la formule de Bayes ?
Réponse
→Reprenant l'exemple précédent : P(malade|positif) = P(positif|malade) P(malade) / P(positif) = (0,95 0,01) / 0,059 = 0,0095 / 0,059 0,161. Cela signifie que si le test est positif, la probabilité d'être réellement malade est seulement d'environ 16% — car la maladie est rare. Ce résultat illustre le paradoxe de la prévalence : un test très fiable peut avoir une forte proportion de faux positifs si la maladie est rare.
Mnémotechnique
Bayes : P(B|A) = / P(A). "Retourner les conditionnelles." Utile pour : P(cause|effet) à partir de P(effet|cause).
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MAT
Loi binomiale B(n,p) au bac
Définition
X suit B(n,p) si X = nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune avec P(succès) = p. P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ. E(X) = np, V(X) = np(1−p), = .
Question probable
Comment reconnaître une situation de loi binomiale et l'appliquer ?
Réponse
→Conditions de la loi binomiale (NIRS) : N épreuves, Identiques, indépendantes, à deux Résultats possibles (succès/échec), P(succès) = p constante. Exemple : on jette un dé 10 fois, X = nombre de 6 obtenus. X suit B(10, 1/6). P(X = 3) = C(10, 0,155. P(X 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Utiliser la calculatrice : binomFdp(n,p,k) pour P(X=k), binomRép(n,p,k) pour .
Mnémotechnique
B(n,p) : NIRS (N épreuves, Indépendantes, mêmes Résultats, p fixe). P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ. Calc : binomFdp et binomRép.
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MAT
Loi normale et intervalle de confiance
Définition
X ~ , : courbe en cloche. X 0,95. Intervalle de confiance au seuil 95% pour une proportion p inconnue, estimée par f = k/n : IC = [f − ; f + pour n 30.
Question probable
Comment construire et interpréter un intervalle de confiance ?
Réponse
→On sondage 400 personnes, 180 répondent "oui". f = 180/400 = 0,45. IC au seuil 95% : [0,45 − ; 0,45 + = [0,45 − 0,05 ; 0,45 + 0,05] = [0,40 ; 0,50]. Interprétation : on peut affirmer avec 95% de confiance que la vraie proportion p est dans [0,40 ; 0,50]. Attention : l'IC ne donne pas une certitude à 100%, seulement 95%. Plus n est grand, plus l'IC est étroit.
Mnémotechnique
IC au seuil 95% : [f − ; f + . Plus n grand → IC étroit. 95% de confiance certitude à 100%.
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