Mathématiques
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Fiche de révision :
Les Suites Arithmétiques et Géométriques

Les suites arithmétiques et géométriques sont des modèles fondamentaux en Maths Terminale. De la démonstration par récurrence aux applications financières, voici 5 fiches pour maîtriser ces notions au bac.

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MAT
Suite arithmétique : terme général et somme
Définition
Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + nr (ou uₙ = u₁ + (n−1)r). Somme des (n+1) premiers termes : S = (n+1)(u₀ + uₙ)/2 = (n+1)(premier + dernier)/2.
Question probable
Calculer la somme 1 + 2 + 3 + ... + 100.
Réponse
→La suite 1, 2, 3, ..., 100 est arithmétique de premier terme u₁ = 1, dernier terme u₁₀₀ = 100, et comporte 100 termes. Somme = 100 (1 + 100)/2 = 100 101/2 = 5050. En général, pour une suite arithmétique de n termes de u₁ à uₙ : S = n (u₁ + uₙ)/2. Moyen mnémotechnique : Gauss a trouvé cette formule enfant en remarquant que 1+100 = 2+99 = 3+98 = ... = 101, et il y a 50 telles paires.
Mnémotechnique
Arithmétique : uₙ = u₀ + nr. Somme = nb de termes (premier + dernier)/2. Gauss : 1+...+100 = 5050.
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MAT
Suite géométrique : terme général et somme
Définition
Une suite (uₙ) est géométrique de raison q si uₙ₊₁ = q uₙ. Terme général : uₙ = u₀ qⁿ. Somme des (n+1) premiers termes (q 1) : S = u₀ (1 − qⁿ⁺^1)/(1 − q).
Question probable
Calculer la somme 1 + 2 + 4 + ... + 2^1^0.
Réponse
→Suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison q = 2, avec n+1 = 11 termes (de u₀ à u₁₀). S = 1 (1 − 2^1^1)/(1 − 2) = (1 − 2048)/(−1) = 2047. Vérification : 2^1^1 − 1 = 2048 − 1 = 2047. Propriété utile : pour une géométrique de raison q, la somme des n premiers termes vaut u₀(qⁿ − 1)/(q − 1) si q > 1. Applications : intérêts composés, croissance de population.
Mnémotechnique
Géométrique : uₙ = u₀ qⁿ. Somme = u₀ (1 − qⁿ⁺^1)/(1 − q). 1 + q + ... + qⁿ = (1−qⁿ⁺^1)/(1−q).
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MAT
Limites de suites
Définition
Suite arithmétique de raison r > 0 → tend vers . Suite géométrique : si |q| < 1 → converge vers 0 ; si q > 1 → tend vers ; si q = 1 → constante ; si q < −1 → diverge (valeurs oscillantes). Une suite monotone et bornée est convergente.
Question probable
Quelle est la limite d'une suite géométrique de raison q = 0,9 ?
Réponse
→Pour une suite géométrique de raison q = 0,9 < 1, uₙ = u₀ (0,9)ⁿ → 0 quand n → (car |0,9| < 1 implique (0,9)ⁿ → 0). La somme infinie vaut u₀/(1−0,9) = 10u₀. Application : si on place 1000€ et qu'on retire 10% chaque année, le capital tend vers 0. Si |q| < 1, la suite géométrique converge et on peut sommer une infinité de termes. Si q > 1 : la suite diverge vers .
Mnémotechnique
|q| < 1 → (uₙ) → 0. q > 1 → . q = −1 → oscille. Suite monotone + bornée → convergente (théorème fondamental).
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MAT
Démonstration par récurrence
Définition
La récurrence est une méthode de démonstration pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n n₀. Étapes : initialisation P(n₀), hérédité (P(n) vraie ⟹ P(n+1) vraie), conclusion.
Question probable
Démontrer par récurrence que pour tout n 1 : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
Réponse
→Initialisation : n = 1. 1 = = 1 ✓. Hérédité : supposons que 1+2+...+k = k(k+1)/2 pour un k 1 fixé (hypothèse de récurrence). Montrons que 1+2+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2. Or 1+2+...+(k+1) = [1+2+...+k] + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)[k/2 + 1] = (k+1)(k+2)/2 ✓. Conclusion : par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n 1.
Mnémotechnique
Récurrence : Init (vérifier P(n₀)) + Hérédité (P(n) → P(n+1)) + Conclusion. Citer explicitement l'hypothèse de récurrence dans le calcul.
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MAT
Suites définies par récurrence et modélisation
Définition
Une suite peut être définie par uₙ₊₁ = f(uₙ) (suite récurrente). Pour étudier sa convergence : supposer lim uₙ = ℓ implique f(ℓ) = ℓ (point fixe). Applications : modèles de croissance, remboursement d'emprunt, démographie.
Question probable
Comment étudier la suite définie par uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3, u₀ = 1 ?
Réponse
→Point fixe : ℓ = 0,5ℓ + 3 → 0,5ℓ = 3 → ℓ = 6. On pose vₙ = uₙ − 6. Alors vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = 0,5uₙ + 3 − 6 = 0,5(uₙ − 6) = 0,5vₙ. Donc (vₙ) est géométrique de raison 0,5. v₀ = u₀ − 6 = −5. vₙ = −5 (0,5)ⁿ → 0, donc uₙ = 6 + vₙ → 6. La suite converge vers 6. Méthode : chercher le point fixe, poser vₙ = uₙ − ℓ, reconnaître la suite géométrique.
Mnémotechnique
Récurrence uₙ₊₁ = auₙ + b : point fixe ℓ = b/(1−a). vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a. Limite = point fixe si |a| < 1.
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