Mathématiques
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Fiche de révision :
La Fonction Exponentielle

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes de Maths Terminale. Omniprésente en analyse, elle se distingue par sa propriété remarquable d'être sa propre dérivée. Voici 5 fiches essentielles.

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MAT
Définition de e^x
Définition
La fonction exponentielle eˣ est la solution unique de l'équation différentielle f' = f avec f(0) = 1. Elle vérifie donc eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ, = 1, et (eˣ)' = eˣ. Le nombre e 2,718 est la base de l'exponentielle naturelle.
Question probable
Quelle est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle ?
Réponse
La fonction eˣ est l'unique fonction f vérifiant f' = f et f(0) = 1. Cette propriété est fondamentale : la fonction exponentielle est sa propre dérivée. Conséquences : eˣ est strictement positive sur ℝ (pas de zéro), strictement croissante sur ℝ, et sa courbe est convexe. eˣ > 0 implique que l'exponentielle n'a pas d'extremum et ne change pas de signe. L'équation f' = kf a pour solution f(x) = f(0)eᵏˣ.
Mnémotechnique
(eˣ)' = eˣ. = 1. eˣ > 0 pour tout x. Solution de f' = f avec f(0) = 1.
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MAT
Propriétés algébriques de e^x
Définition
Pour tous réels a et b : e^(a+b) = eᵃ eᵇ ; e^(a−b) = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ᵇ = e^(ab) ; e⁻ᵃ = 1/eᵃ. Ces propriétés découlent de la définition et permettent de simplifier les calculs avec les exponentielles.
Question probable
Comment simplifier une expression avec des exponentielles ?
Réponse
Exemples : e^(2x) e^(−x) = e^(2x−x) = eˣ ; = e^(3x) ; e^(3x)/e^(x+1) = e^(3x−x−1) = e^(2x−1). Pour résoudre eˣ > : comme eˣ est croissante, cela équivaut à x > 2. Pour résoudre e^(2x+1) = e^(x−1) : 2x+1 = x−1, donc x = −2. Ces propriétés sont analogues à celles des puissances : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ eᵇ comme 10ᵃ⁺ᵇ = 10ᵃ 10ᵇ.
Mnémotechnique
e^(a+b) = eᵃeᵇ. e^(−a) = 1/eᵃ. (eᵃ)ᵇ = e^(ab). Même règles que les puissances.
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MAT
Dérivée de e^x et e^(u)
Définition
(eˣ)' = eˣ. Par composition : (e^(u(x)))' = u'(x) e^(u(x)). C'est la règle de la chaîne appliquée à l'exponentielle. La primitive de eˣ est eˣ + C, et la primitive de u'eᵘ est eᵘ + C.
Question probable
Comment dériver et intégrer des expressions contenant e^(u(x)) ?
Réponse
Exemples de dérivées : (e^(2x+1))' = 2 e^(2x+1) ; = 2x ; (xe^(−x))' = e^(−x) + x (−1)e^(−x) = e^(−x)(1−x). Pour les intégrales : 2x dx = + C car = 2x . Reconnaître la forme u'eᵘ est une compétence clé. Exemple : e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C.
Mnémotechnique
(e^u)' = u'e^u. Primitive de u'e^u = e^u. = (1/a)e^(ax).
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MAT
Limites de l'exponentielle
Définition
eˣ = ; eˣ = 0. Croissances comparées : pour tout n entier positif, eˣ/xⁿ = et xⁿ eˣ = 0. L'exponentielle "l'emporte" sur toute puissance.
Question probable
Comment calculer e^(−x) ?
Réponse
e^(−x) = = 0 (croissances comparées : eˣ l'emporte sur . Plus généralement, xⁿ/eˣ = 0 pour tout entier n. De même, xⁿ eˣ = 0. Pour lim[x→0] (eˣ−1)/x = 1 (définition de la dérivée de eˣ en 0). Ces limites s'obtiennent souvent en posant t = −x ou en faisant un changement de variable.
Mnémotechnique
eˣ/xⁿ → quand x → . xⁿeˣ → 0 quand x → . eˣ "l'emporte" sur tout polynôme.
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MAT
Croissance comparée avec ln et polynômes
Définition
Hiérarchie des croissances : ln(x) ≪ xᵅ ≪ eˣ (pour > 0) quand x → . C'est-à-dire : ln(x)/xᵅ → 0 et xᵅ/eˣ → 0. Ces résultats permettent de lever les formes indéterminées et .
Question probable
Comment lever la forme indéterminée ?
Réponse
On factorise par eˣ : − eˣ = − 1). Comme = 0 (croissances comparées), on a − 1 → −1 et eˣ → , donc . Ainsi l'exponentielle "domine" le polynôme. Autre exemple : ln(x)/x = 0. Ces résultats sont indispensables pour lever les formes indéterminées au bac.
Mnémotechnique
Hiérarchie : ln ≪ polynôme ≪ eˣ. Pour lever ou : factoriser par le terme dominant.
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