Comment calculer lim[x→+∞] x² e^(−x) ?

lim[x→+∞] x² e^(−x) = lim[x→+∞] x²/eˣ = 0 (croissances comparées : eˣ l'emporte sur x²). Plus généralement, lim[x→+∞] xⁿ/eˣ = 0 pour tout entier n. De même, lim[x→−∞] xⁿ eˣ = 0. Pour lim[x→0] (eˣ−1)/x = 1 (définition de la dérivée de eˣ en 0). Ces limites s'obtiennent souvent en posant t = −x ou en faisant un changement de variable.

Comment lever la forme indéterminée lim[x→+∞] (x²−eˣ) ?

On factorise par eˣ : x² − eˣ = eˣ(x²/eˣ − 1). Comme lim[x→+∞] x²/eˣ = 0 (croissances comparées), on a x²/eˣ − 1 → −1 et eˣ → +∞, donc (x²−eˣ) → −∞. Ainsi l'exponentielle "domine" le polynôme. Autre exemple : lim[x→+∞] ln(x)/x = 0. Ces résultats sont indispensables pour lever les formes indéterminées au bac.

Mathématiques

Fiche de révision :
La Fonction Exponentielle

Q: Quelle est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle ?

La fonction eˣ est l'unique fonction f vérifiant f' = f et f(0) = 1. Cette propriété est fondamentale : la fonction exponentielle est sa propre dérivée. Conséquences : eˣ est strictement positive sur ℝ (pas de zéro), strictement croissante sur ℝ, et sa courbe est convexe. eˣ > 0 implique que l'exponentielle n'a pas d'extremum et ne change pas de signe. L'équation f' = kf a pour solution f(x) = f(0)eᵏˣ.

Q: Comment simplifier une expression avec des exponentielles ?

Exemples : e^(2x) × e^(−x) = e^(2x−x) = eˣ ; (eˣ)³ = e^(3x) ; e^(3x)/e^(x+1) = e^(3x−x−1) = e^(2x−1). Pour résoudre eˣ > e² : comme eˣ est croissante, cela équivaut à x > 2. Pour résoudre e^(2x+1) = e^(x−1) : 2x+1 = x−1, donc x = −2. Ces propriétés sont analogues à celles des puissances : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ comme 10ᵃ⁺ᵇ = 10ᵃ × 10ᵇ.

Q: Comment dériver et intégrer des expressions contenant e^(u(x)) ?

Exemples de dérivées : (e^(2x+1))' = 2 × e^(2x+1) ; (e^(x²))' = 2x × e^(x²) ; (xe^(−x))' = e^(−x) + x × (−1)e^(−x) = e^(−x)(1−x). Pour les intégrales : ∫ 2x e^(x²) dx = e^(x²) + C car (e^(x²))' = 2x e^(x²). Reconnaître la forme u'eᵘ est une compétence clé. Exemple : ∫ e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C.

La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus importantes de Maths Terminale. Omniprésente en analyse, elle se distingue par sa propriété remarquable d'être sa propre dérivée. Voici 5 fiches essentielles.

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Essayer

MAT

Définition de e^x

Définition

La fonction exponentielle eˣ est la solution unique de l'équation différentielle f' = f avec f(0) = 1. Elle vérifie donc eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ,

e^{0}

= 1, et (eˣ)' = eˣ. Le nombre e

\approx

2,718 est la base de l'exponentielle naturelle.

Question probable

Quelle est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle ?

Mnémotechnique

(eˣ)' = eˣ.

e^{0}

= 1. eˣ > 0 pour tout x. Solution de f' = f avec f(0) = 1.

1 / 5

MAT

Propriétés algébriques de e^x

Définition

Pour tous réels a et b : e^(a+b) = eᵃ

\times

eᵇ ; e^(a−b) = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ᵇ = e^(ab) ; e⁻ᵃ = 1/eᵃ. Ces propriétés découlent de la définition et permettent de simplifier les calculs avec les exponentielles.

Question probable

Comment simplifier une expression avec des exponentielles ?

Mnémotechnique

e^(a+b) = eᵃeᵇ. e^(−a) = 1/eᵃ. (eᵃ)ᵇ = e^(ab). Même règles que les puissances.

2 / 5

MAT

Dérivée de e^x et e^(u)

Définition

(eˣ)' = eˣ. Par composition : (e^(u(x)))' = u'(x)

\times

e^(u(x)). C'est la règle de la chaîne appliquée à l'exponentielle. La primitive de eˣ est eˣ + C, et la primitive de u'eᵘ est eᵘ + C.

Question probable

Comment dériver et intégrer des expressions contenant e^(u(x)) ?

Mnémotechnique

(e^u)' = u'e^u. Primitive de u'e^u = e^u.

\inte^{(} a x)

= (1/a)e^(ax).

3 / 5

MAT

Limites de l'exponentielle

Définition

l im [x \to + \infty]

eˣ =

+ \infty

;

l im [x \to - \infty]

eˣ = 0. Croissances comparées : pour tout n entier positif,

l im [x \to + \infty]

eˣ/xⁿ =

+ \infty

l im [x \to - \infty]

xⁿ eˣ = 0. L'exponentielle "l'emporte" sur toute puissance.

Question probable

Comment calculer

l im [x \to + \infty]

x^{2}

e^(−x) ?

Mnémotechnique

eˣ/xⁿ →

+ \infty

quand x →

+ \infty

. xⁿeˣ → 0 quand x →

- \infty

. eˣ "l'emporte" sur tout polynôme.

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MAT

Croissance comparée avec ln et polynômes

Définition

Hiérarchie des croissances : ln(x) ≪ xᵅ ≪ eˣ (pour

α

> 0) quand x →

+ \infty

. C'est-à-dire : ln(x)/xᵅ → 0 et xᵅ/eˣ → 0. Ces résultats permettent de lever les formes indéterminées

\infty/\infty

\infty \times 0

Question probable

Comment lever la forme indéterminée

l im [x \to + \infty]

(x^{2} - e^{x})

Mnémotechnique

Hiérarchie : ln ≪ polynôme ≪ eˣ. Pour lever

\infty/\infty

\infty \times 0

: factoriser par le terme dominant.

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Fiche de révision :La Fonction Exponentielle

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